Тригонометрические тождества только с углами

Тригонометрические тождества только с углами — это тригонометрические формулы для углов треугольника α, β, γ. Теорема синусов позволяет любые теоремы о треугольнике (например, косинусов, тангенсов и др.) перевести в тригонометрические формулы только с углами. Тогда возможно их чисто тригонометрическое доказательство.

Известные тригонометрические формулы для углов треугольника

• Три положительных угла α, β и γ, каждый из которых меньше 180°, являются углами треугольника тогда и только тогда, когда выполняется любое одно из следующих соотношений:

$\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta +\operatorname {tg} \gamma =\operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta \operatorname {tg} \gamma ,$ (первое тождество для тангенсов)

Замечание. Соотношение выше применимо только тогда, когда ни один из углов не равен 90° (в таком случае функция тангенса всегда определена).

$\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}+\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\gamma }{2}}+\operatorname {tg} {\frac {\gamma }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}=1,$

(второе тождество для тангенсов)

$\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma ),$ (первое тождество для синусов)

$\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=1,$ (второе тождество для синусов)

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )=1,$ (тождество для косинусов)

${\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1$ (тождество для отношения радиусов)

Замечание. При делении обеих частей второго тождества для тангенсов на произведение $\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\beta }{2}}\operatorname {tg} {\frac {\gamma }{2}}$ получается тождество для котангенсов:

$\operatorname {ctg} {\frac {\alpha }{2}}+\operatorname {ctg} {\frac {\beta }{2}}+\operatorname {ctg} {\frac {\gamma }{2}}=\operatorname {ctg} {\frac {\alpha }{2}}\operatorname {ctg} {\frac {\beta }{2}}\operatorname {ctg} {\frac {\gamma }{2}},$

по форме (но не по содержанию) очень похожее на первое тождество для тангенсов.

Другие формулы

Недавно полученные формулы, например:

$\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}=1+4\sin {\frac {\pi -\alpha }{4}}\sin {\frac {\pi -\beta }{4}}\sin {\frac {\pi -\gamma }{4}},$

$-\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}=-1+4\sin {\frac {\pi -\alpha }{4}}\cos {\frac {\pi -\beta }{4}}\cos {\frac {\pi -\gamma }{4}},$

$\sin {\alpha }+\sin {\beta }+\sin {\gamma }=4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}},$

и т. д. В цитированном источнике приведено 60 новых формул.

Замечание. Многие формулы для выражений типа $\pm sink\alpha \pm sink\beta \pm sink\gamma$ или для выражений типа $\pm cosk\alpha \pm cosk\beta \pm cosk\gamma$, где k=0,5; 1;2;3;4; могут быть получены заменой переменных в формулах на с. 177 в книге

Формулы для ${\frac {1}{sink\alpha }}+{\frac {1}{sink\beta }}+{\frac {1}{sink\gamma }}$ и ${\frac {1}{sin^{2}k\alpha }}+{\frac {1}{sin^{2}k\beta }}+{\frac {1}{sin^{2}k\gamma }}$ , где k=1;2;4; получены трехкратным использованием формул типа $\operatorname {ctg} x+\operatorname {tg} x={\frac {2}{sin2x}}$, $\operatorname {ctg} ^{2}x+\operatorname {tg} ^{2}x={\frac {4}{sin^{2}2x}}-2$ и $1+\operatorname {ctg} ^{2}x={\frac {1}{sin^{2}x}};$ $1+\operatorname {tg} ^{2}x={\frac {1}{cos^{2}x}}$. Некоторые формулы для сумм тангенсов или котангенсов получены трехкратным использованием формул их связи друг с другом типа $\operatorname {ctg} x-\operatorname {tg} x=2\operatorname {ctg} 2x$

См. также

• Формулы Сардаряна