Теорема косинусов
Теорема косинусов — утверждение, связывающее три стороны и угол треугольника.
Для треугольника ABC она формулируетсяя следующим образом[1]:
Смысл[править]
Вообще говоря, стоит заметить, что, помимо теоремы в её традиционном виде, её можно «перевернуть» в «обратную теорему косинусов»[Прим. 1], которая представляет отдельный интерес в решении треугольников, поскольку позволяет найти угол по трём сторонам[1]:
Доказательство[править]
Традиционно при доказательстве теорема разбивается на два случая: когда угол не больше 90° и когда угол между 90° и 180°, поскольку косинус меняет свой знак при «отуплении» угла.[1]
- Как объединить оба случая
Представим, что в треугольник OAB вписана ось OA с началом в точке O. Тогда точка B при проецировании на ось «отбрасывает» координату, положительную от остром угле и отрицательную при тупом (и нулевую при прямом). Для угла не больше 90° эта координата равна OB cos ∠O, что следует из определения косинуса для таких углов. Для угла между 90°—180° координата неположительна, но тоже равна OB cos ∠O, поскольку при расширении определения косинуса до развёрнутого угла начинает «просыпаться» знак проекции, знак координаты.
Тогда расстояние между проекцией точки B и точкой A составляет
А расстояние от B до оси равно OB sin ∠O. Тогда по теореме Пифагора
ч. т. д.
Теорема синусов[править]
Интересно, что из теоремы косинусов возможно даже вывести теорему синусов. Преобразуем косинус в синус по основному тригонометрическому тождеству, а далее по формуле разности квадратов:
где p — полупериметр. Тогда выражение
оказывается инвариантом относительно смены угла ∠B и соответствующей стороны, противолежащей ей, на любой другой угол треугольника: ∠C и ∠A, — что и есть теорема синусов. С оговорочкой, что синус от 0° до 180° всегда неотрицательный (синусы смежных углов равны), то есть выражение «свободно» от того, чтобы «снять» с его вторую степень.
Примечания[править]
- ↑ термин неофициальный, «самопальный»