Теорема косинусов

Теорема Косинусов // Математик МГУ [10:15]

Теорема косинусов — утверждение, связывающее три стороны и угол треугольника.

Для треугольника ABC она формулируетсяя следующим образом:

$AB^{2}+BC^{2}+2AB\cdot BC\cos \angle B=AC^{2}.$

Смысл

Вообще говоря, стоит заметить, что, помимо теоремы в её традиционном виде, её можно «перевернуть» в «обратную теорему косинусов», которая представляет отдельный интерес в решении треугольников, поскольку позволяет найти угол по трём сторонам:

$\angle B=\arccos {\frac {AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2AB\cdot BC}}.$

Доказательство

Традиционно при доказательстве теорема разбивается на два случая: когда угол не больше 90° и когда угол между 90° и 180°, поскольку косинус меняет свой знак при «отуплении» угла.

Как объединить оба случая

Представим, что в треугольник OAB вписана ось OA с началом в точке O. Тогда точка B при проецировании на ось «отбрасывает» координату, положительную от остром угле и отрицательную при тупом (и нулевую при прямом). Для угла не больше 90° эта координата равна OB cos ∠O, что следует из определения косинуса для таких углов. Для угла между 90°—180° координата неположительна, но тоже равна OB cos ∠O, поскольку при расширении определения косинуса до развёрнутого угла начинает «просыпаться» знак проекции, знак координаты.

Тогда расстояние между проекцией точки B и точкой A составляет

$|OA-OB\cos \angle O|.$

А расстояние от B до оси равно OB sin ∠O. Тогда по теореме Пифагора

$AB^{2}=|OA-OB\cos \angle O|^{2}+OB^{2}\sin ^{2}\angle O=OA^{2}-2OA\cdot OB\cos \angle O+OB^{2}(\sin ^{2}\angle O+\cos ^{2}\angle O)=OA^{2}-2OA\cdot OB\cos \angle O+OB^{2},$

ч. т. д.

Теорема синусов

Интересно, что из теоремы косинусов возможно даже вывести теорему синусов. Преобразуем косинус в синус по основному тригонометрическому тождеству, а далее по формуле разности квадратов:

$\sin ^{2}\angle B={\frac {(2AB\cdot BC)^{2}-(AB^{2}+BC^{2}-AC^{2})^{2}}{4AB^{2}BC^{2}}}=$

$={\frac {(2AB\cdot BC-AB^{2}-BC^{2}+AC^{2})(2AB\cdot BC+AB^{2}+BC^{2}-AC^{2})}{4AB^{2}BC^{2}}}=$

$={\frac {(AC^{2}-(AB-BC)^{2})((AB+BC)^{2}-AC^{2})}{4AB^{2}BC^{2}}}=4{\frac {p(p-AB)(p-BC)(p-CA)}{AB^{2}BC^{2}}},$

где p — полупериметр. Тогда выражение

$\left({\frac {\sin \angle B}{AC}}\right)^{2}=4{\frac {p(p-AB)(p-BC)(p-CA)}{(AB\cdot BC\cdot CA)^{2}}}$

оказывается инвариантом относительно смены угла ∠B и соответствующей стороны, противолежащей ей, на любой другой угол треугольника: ∠C и ∠A, — что и есть теорема синусов. С оговорочкой, что синус от 0° до 180° всегда неотрицательный (синусы смежных углов равны), то есть выражение «свободно» от того, чтобы «снять» с его вторую степень.