Решение треугольников
Решение треугольников — историческая тригонометрическая задача по восстановлению всех элементов треугольника (углов и сторон) при наличии некоторых известных.
В евклидовой геометрии для того, чтобы такая задача была возможна, требуется задать хотя бы три элемента, то есть: либо три угла, либо два угла и сторону, либо угол и две стороны, либо три стороны, — причём из них первый вариант не является пригодным, поскольку любой 3-угольник при преобразовании подобия сохраняет углы и в таком треугольнике имеет смысл искать не стороны, а лишь пропорции между ними (теорема синусов нам «подмигивает»).
Также существуют обобщения задачи для пространств иной кривизны.
Содержание
Евклидово пространство[править]
Обозначим вершины 3-угольника как A, B, C, а стороны напротив них — a, b, c соответственно.
Сторона и два угла[править]
Допустим, известны углы A, B и одна из сторон a, b, c.
Тогда угол C можно восстановить по сумме углов: τ/2 = ∠A + ∠B + ∠C.
Далее в ход вступает теорема синусов:
- [math]\displaystyle{ \frac{\sin A}a = \frac{\sin B}b = \frac{\sin C}c, }[/math]
в которой хотя бы одна дробь известна, что очень важно, а в остальных из них известны числители. Что и позволяет восстановить две остальные стороны.
Две стороны и угол не между ними[править]
Допустим, известны стороны a, b и угол A. Причём важно заметить, что здесь очень существенно, что угол находится не между сторонами, а напротив одной из них, то есть это оказывается принципиально иной задачей. Дело в том, что, пытаясь восстановить угол B по теореме синусов:
- [math]\displaystyle{ \sin \angle B = \frac b a \sin \angle A \underset{\angle B \in [0, \pi]}\Longleftrightarrow \angle B = \bigg[ \begin{array}{lcl} \arcsin(\frac b a \sin \angle A), \\ \pi - \arcsin(\frac b a \sin \angle A), \end{array} }[/math]
мы получаем возможную неоднозначность. Правда, её, в принципе, возможно «размотать» при условии, если ∠B — это либо прямой угол, либо при большем из значений этого угла сумма углов ∠A и ∠B оказывается выше, чем сумма всех углов (π). В последнем случае большее значение этого угла просто исключается. В итоге будем считать, что угол ∠B найден.
Далее угол C: его можно найти по сумме углов 3-угольника.
После этого сторону c можно вычислить либо по теореме синусов:
- [math]\displaystyle{ \frac c{\sin C} = \frac b{\sin B} = \frac a{\sin A}, }[/math]
где неизвестно только число c, либо по теореме косинусов:
- [math]\displaystyle{ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C. }[/math]
Все эти рассуждения можно подытожить так:
[math]\displaystyle{ \angle B_- }[/math] | [math]\displaystyle{ \arcsin(\frac b a \sin \angle A) }[/math] |
[math]\displaystyle{ \angle B_+ }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac\tau2 - \arcsin(\frac b a \sin \angle A) }[/math] |
[math]\displaystyle{ \angle C }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac\tau2 - \angle B_{\pm_1} - \angle A }[/math] |
[math]\displaystyle{ c }[/math] | [math]\displaystyle{ b\cos\angle A + a\cos\angle B_{\pm_1} = b\cos\angle A \mp_1 \sqrt{a^2 - b^2\sin^2\angle A} }[/math] |
Данная задача выделяется от других богатым разнообразием случаев, из которых требуется выбирать. Классифицировать все эти случаи можно, если ввести полярную ось Ox, из нуля которой сторона b будет исходить под углом A с положительным направлением этой оси. Из остального конца этой стороны будет исходить сторона a, задача которой — чтобы её остальной конец пересёк полярную ось. Причём в неотрицательной координате. В противном случае угол A по отношению к треугольнику будет внешним, а не внутренним.
- Угол A меньше τ/4.
- a меньше, чем b sin ∠A. Тогда сторона a просто «недостаёт» до полярной оси — и решений нет.
- a совпадает с b sin ∠A. В этом случае сторона a перпендикулярна к c.
- a выше b sin ∠A, но ниже b. Тогда сторона a пересекает Ox в двух координатах
[math]\displaystyle{ b\cos\angle A \pm \sqrt{a^2 - b^2\sin^2\angle A}, }[/math]
оба из которых положительны. - a равняется b. Получаются координаты
[math]\displaystyle{ 0, \qquad 2b\cos\angle A, }[/math]
то есть один из треугольников оказывается вырожденным. - a больше b. Тогда среди обоих значений координаты c остаётся только одно неотрицательное. При остальном же значении угол C по отношению к треугольнику превращается во внешний.
- Угол A равен τ/4.
- При a < b сторона a снова «недотягивает» до Ox.
- При a = b образуется вырожденный треугольник.
- При a > b образуются два треугольника, для одного из которых угол C внутренний, а для остального — внешний[1].
- В случае с тупым углом A круг случаев сильно сужается на фоне случая с острым углом. Дело в том, что среди координат пересечения a с Ox либо отрицательной будет одна, либо отрицательными будут обе.
- Для стороны a < b решения бессмысленны: либо сторона не будет «дотягивать» до полярной оси, либо пересечения будут в отрицательных точках.
- При a = b получится ровно один треугольник, который ещё и будет вырожденным.
- При a > b единственная координата пересечения, пригодная в качестве решения, — это
[math]\displaystyle{ b\cos\angle A + \sqrt{a^2 - b^2\sin^2\angle A}. }[/math]
Две стороны и угол между ними[править]
Даны известные стороны, скажем, a, b и угол C. Тогда сторона c равна
- [math]\displaystyle{ \sqrt[2]{a^2 + b^2 - 2ab\cos\angle C}. }[/math]
Далее, углы A и B можно вычислить по теореме синусов:
- [math]\displaystyle{ \angle A = \bigg[ \begin{array}{lcl} \arcsin(\frac ac \sin\angle C), \\ \frac\tau2 - \arcsin(\frac ac \sin\angle C), \end{array} \qquad \angle B = \bigg[ \begin{array}{lcl} \arcsin(\frac bc \sin\angle C), \\ \frac\tau2 - \arcsin(\frac bc \sin\angle C), \end{array} }[/math]
хотя заметно, что эта теорема ненадёжна для нахождения углов. Поэтому больший приоритет здесь стоит отдать теореме косинусов:
- [math]\displaystyle{ \angle A = \arccos\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \qquad \angle B = \arccos\frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}, }[/math]
что при раскрытии числа c равно
- [math]\displaystyle{ \angle A = \arccos\frac{b - a\cos\angle C}c, \qquad \angle B = \arccos\frac{a - b\cos\angle C}c. }[/math]
Три стороны[править]
Три угла можно найти по теореме косинусов:
- [math]\displaystyle{ \angle A = \arccos\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \qquad \angle B = \arccos\frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}, \qquad \angle C = \arccos\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}. }[/math]
Заметим одно любопытное свойство, что сумма этих арккосинусов равна τ/2.
Примечания[править]
- ↑ Справедливости ради, заметим, что оба треугольника вообще-то друг другу будут равны.