Решение треугольников

9 класс, 15 урок, Решение треугольников // Видеокурсы DA VINCI [5:07]

Решение треугольников — историческая тригонометрическая задача по восстановлению всех элементов треугольника (углов и сторон) при наличии некоторых известных.

В евклидовой геометрии для того, чтобы такая задача была возможна, требуется задать хотя бы три элемента, то есть: либо три угла, либо два угла и сторону, либо угол и две стороны, либо три стороны, — причём из них первый вариант не является пригодным, поскольку любой 3-угольник при преобразовании подобия сохраняет углы и в таком треугольнике имеет смысл искать не стороны, а лишь пропорции между ними (теорема синусов нам «подмигивает»).

Также существуют обобщения задачи для пространств иной кривизны.

Евклидово пространство

Обозначим вершины 3-угольника как A, B, C, а стороны напротив них — a, b, c соответственно.

Сторона и два угла

Допустим, известны углы A, B и одна из сторон a, b, c.

Тогда угол C можно восстановить по сумме углов: τ/2 = ∠A + ∠B + ∠C.

Далее в ход вступает теорема синусов:

[math]\displaystyle{ \frac{\sin A}a = \frac{\sin B}b = \frac{\sin C}c, }[/math]

в которой хотя бы одна дробь известна, что очень важно, а в остальных из них известны числители. Что и позволяет восстановить две остальные стороны.

Две стороны и угол не между ними

Допустим, известны стороны a, b и угол A. Причём важно заметить, что здесь очень существенно, что угол находится не между сторонами, а напротив одной из них, то есть это оказывается принципиально иной задачей. Дело в том, что, пытаясь восстановить угол B по теореме синусов:

[math]\displaystyle{ \sin \angle B = \frac b a \sin \angle A \underset{\angle B \in [0, \pi]}\Longleftrightarrow \angle B = \bigg[ \begin{array}{lcl} \arcsin(\frac b a \sin \angle A), \\ \pi - \arcsin(\frac b a \sin \angle A), \end{array} }[/math]

мы получаем возможную неоднозначность. Правда, её, в принципе, возможно «размотать» при условии, если ∠B — это либо прямой угол, либо при большем из значений этого угла сумма углов ∠A и ∠B оказывается выше, чем сумма всех углов (π). В последнем случае большее значение этого угла просто исключается. В итоге будем считать, что угол ∠B найден.

Далее угол C: его можно найти по сумме углов 3-угольника.

После этого сторону c можно вычислить либо по теореме синусов:

[math]\displaystyle{ \frac c{\sin C} = \frac b{\sin B} = \frac a{\sin A}, }[/math]

где неизвестно только число c, либо по теореме косинусов:

[math]\displaystyle{ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C. }[/math]

Все эти рассуждения можно подытожить так:

[math]\displaystyle{ \angle B_- }[/math]	[math]\displaystyle{ \arcsin(\frac b a \sin \angle A) }[/math]
[math]\displaystyle{ \angle B_+ }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac\tau2 - \arcsin(\frac b a \sin \angle A) }[/math]
[math]\displaystyle{ \angle C }[/math]	[math]\displaystyle{ \frac\tau2 - \angle B_{\pm_1} - \angle A }[/math]
[math]\displaystyle{ c }[/math]	[math]\displaystyle{ b\cos\angle A + a\cos\angle B_{\pm_1} = b\cos\angle A \mp_1 \sqrt{a^2 - b^2\sin^2\angle A} }[/math]

Данная задача выделяется от других богатым разнообразием случаев, из которых требуется выбирать. Классифицировать все эти случаи можно, если ввести полярную ось Ox, из нуля которой сторона b будет исходить под углом A с положительным направлением этой оси. Из остального конца этой стороны будет исходить сторона a, задача которой — чтобы её остальной конец пересёк полярную ось. Причём в неотрицательной координате. В противном случае угол A по отношению к треугольнику будет внешним, а не внутренним.

1. Угол A меньше τ/4.
   1. a меньше, чем b sin ∠A. Тогда сторона a просто «недостаёт» до полярной оси — и решений нет.
   2. a совпадает с b sin ∠A. В этом случае сторона a перпендикулярна к c.
   3. a выше b sin ∠A, но ниже b. Тогда сторона a пересекает Ox в двух координатах

      [math]\displaystyle{ b\cos\angle A \pm \sqrt{a^2 - b^2\sin^2\angle A}, }[/math]

      оба из которых положительны.
   4. a равняется b. Получаются координаты

      [math]\displaystyle{ 0, \qquad 2b\cos\angle A, }[/math]

      то есть один из треугольников оказывается вырожденным.
   5. a больше b. Тогда среди обоих значений координаты c остаётся только одно неотрицательное. При остальном же значении угол C по отношению к треугольнику превращается во внешний.
2. Угол A равен τ/4.
   1. При a < b сторона a снова «недотягивает» до Ox.
   2. При a = b образуется вырожденный треугольник.
   3. При a > b образуются два треугольника, для одного из которых угол C внутренний, а для остального — внешний.
3. В случае с тупым углом A круг случаев сильно сужается на фоне случая с острым углом. Дело в том, что среди координат пересечения a с Ox либо отрицательной будет одна, либо отрицательными будут обе.
   1. Для стороны a < b решения бессмысленны: либо сторона не будет «дотягивать» до полярной оси, либо пересечения будут в отрицательных точках.
   2. При a = b получится ровно один треугольник, который ещё и будет вырожденным.
   3. При a > b единственная координата пересечения, пригодная в качестве решения, — это

      [math]\displaystyle{ b\cos\angle A + \sqrt{a^2 - b^2\sin^2\angle A}. }[/math]

Две стороны и угол между ними

Даны известные стороны, скажем, a, b и угол C. Тогда сторона c равна

[math]\displaystyle{ \sqrt[2]{a^2 + b^2 - 2ab\cos\angle C}. }[/math]

Далее, углы A и B можно вычислить по теореме синусов:

[math]\displaystyle{ \angle A = \bigg[ \begin{array}{lcl} \arcsin(\frac ac \sin\angle C), \\ \frac\tau2 - \arcsin(\frac ac \sin\angle C), \end{array} \qquad \angle B = \bigg[ \begin{array}{lcl} \arcsin(\frac bc \sin\angle C), \\ \frac\tau2 - \arcsin(\frac bc \sin\angle C), \end{array} }[/math]

хотя заметно, что эта теорема ненадёжна для нахождения углов. Поэтому больший приоритет здесь стоит отдать теореме косинусов:

[math]\displaystyle{ \angle A = \arccos\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \qquad \angle B = \arccos\frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}, }[/math]

что при раскрытии числа c равно

[math]\displaystyle{ \angle A = \arccos\frac{b - a\cos\angle C}c, \qquad \angle B = \arccos\frac{a - b\cos\angle C}c. }[/math]

Три стороны

Три угла можно найти по теореме косинусов:

[math]\displaystyle{ \angle A = \arccos\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \qquad \angle B = \arccos\frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}, \qquad \angle C = \arccos\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}. }[/math]

Заметим одно любопытное свойство, что сумма этих арккосинусов равна τ/2.