Решение треугольников

9 класс, 15 урок, Решение треугольников // Видеокурсы DA VINCI [5:07]

Решение треугольников — историческая тригонометрическая задача по восстановлению всех элементов треугольника (углов и сторон) при наличии некоторых известных.

В евклидовой геометрии для того, чтобы такая задача была возможна, требуется задать хотя бы три элемента, то есть: либо три угла, либо два угла и сторону, либо угол и две стороны, либо три стороны, — причём из них первый вариант не является пригодным, поскольку любой треугольник при преобразовании подобия сохраняет углы и в таком треугольнике имеет смысл искать не стороны, а лишь пропорции между ними (теорема синусов нам «подмигивает»).

Также существуют обобщения задачи для пространств иной кривизны.

Евклидово пространство

Обозначим вершины 3-угольника как A, B, C, а стороны напротив них — a, b, c соответственно.

Сторона и два угла

Допустим, известны углы A, B и одна из сторон a, b, c.

Тогда угол C можно восстановить по сумме углов: τ/2 = ∠A + ∠B + ∠C = π.

Далее в ход вступает теорема синусов:

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}},$

в которой хотя бы одна дробь известна, что очень важно, а в остальных из них известны числители. Что и позволяет восстановить две остальные стороны.

Две стороны и угол не между ними

Допустим, известны стороны a, b и угол A. Причём важно заметить, что здесь очень существенно, что угол находится не между сторонами, а напротив одной из них, то есть это оказывается принципиально иной задачей. Дело в том, что, пытаясь восстановить угол B по теореме синусов:

$\sin \angle B={\frac {b}{a}}\sin \angle A{\underset {\angle B\in [0,\pi ]}{\Longleftrightarrow }}\angle B={\bigg [}{\begin{array}{lcl}\arcsin({\frac {b}{a}}\sin \angle A),\\\pi -\arcsin({\frac {b}{a}}\sin \angle A),\end{array}}$

мы получаем возможную неоднозначность. Правда, её, в принципе, возможно «размотать» при условии, если ∠B — это либо прямой угол, либо при большем из значений этого угла сумма углов ∠A и ∠B оказывается выше, чем сумма всех углов (π). В последнем случае большее значение этого угла просто исключается. В итоге будем считать, что угол ∠B найден.

Далее угол C: его можно найти по сумме углов 3-угольника.

После этого сторону c можно вычислить либо по теореме синусов:

${\frac {c}{\sin C}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {a}{\sin A}},$

где неизвестно только число c, либо по теореме косинусов:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C.$

Все эти рассуждения можно подытожить так:

$\angle B_{-}$	$\arcsin({\frac {b}{a}}\sin \angle A)$
$\angle B_{+}$	$\pi -\arcsin({\frac {b}{a}}\sin \angle A)$
$\angle C$	$\pi -\angle B_{\pm _{1}}-\angle A$
$c$	$b\cos \angle A+a\cos \angle B_{\pm _{1}}=b\cos \angle A\mp _{1}{\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\angle A}}$

Данная задача выделяется от других богатым разнообразием случаев, из которых требуется выбирать. Классифицировать все эти случаи можно, если ввести полярную ось Ox, из нуля которой сторона b будет исходить под углом A с положительным направлением этой оси. Из остального конца этой стороны будет исходить сторона a, задача которой — чтобы её остальной конец пересёк полярную ось. Причём в неотрицательной координате. В противном случае угол A по отношению к треугольнику будет внешним, а не внутренним.

1. Угол A меньше τ/4.
   1. a меньше, чем b sin ∠A. Тогда сторона a просто «недостаёт» до полярной оси — и решений нет.
   2. a совпадает с b sin ∠A. В этом случае сторона a перпендикулярна к c.
   3. a выше b sin ∠A, но ниже b. Тогда сторона a пересекает Ox в двух координатах

      $b\cos \angle A\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\angle A}},$

      оба из которых положительны.
   4. a равняется b. Получаются координаты

      $0,\qquad 2b\cos \angle A,$

      то есть один из треугольников оказывается вырожденным.
   5. a больше b. Тогда среди обоих значений координаты c остаётся только одно неотрицательное. При остальном же значении угол C по отношению к треугольнику превращается во внешний.
2. Угол A равен τ/4.
   1. При a < b сторона a снова «недотягивает» до Ox.
   2. При a = b образуется вырожденный треугольник.
   3. При a > b образуются два треугольника, для одного из которых угол C внутренний, а для остального — внешний.
3. В случае с тупым углом A круг случаев сильно сужается на фоне случая с острым углом. Дело в том, что среди координат пересечения a с Ox либо отрицательной будет одна, либо отрицательными будут обе.
   1. Для стороны a < b решения бессмысленны: либо сторона не будет «дотягивать» до полярной оси, либо пересечения будут в отрицательных точках.
   2. При a = b получится ровно один треугольник, который ещё и будет вырожденным.
   3. При a > b единственная координата пересечения, пригодная в качестве решения, — это

      $b\cos \angle A+{\sqrt {a^{2}-b^{2}\sin ^{2}\angle A}}.$

Две стороны и угол между ними

Даны известные стороны, скажем, a, b и угол C. Тогда сторона c равна

${\sqrt[{2}]{a^{2}+b^{2}-2ab\cos \angle C}}.$

Далее, углы A и B можно вычислить по теореме синусов:

$\angle A={\bigg [}{\begin{array}{lcl}\arcsin({\frac {a}{c}}\sin \angle C),\\\pi -\arcsin({\frac {a}{c}}\sin \angle C),\end{array}}\qquad \angle B={\bigg [}{\begin{array}{lcl}\arcsin({\frac {b}{c}}\sin \angle C),\\\pi -\arcsin({\frac {b}{c}}\sin \angle C),\end{array}}$

хотя заметно, что эта теорема ненадёжна для нахождения углов. Поэтому больший приоритет здесь стоит отдать теореме косинусов:

$\angle A=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}},\qquad \angle B=\arccos {\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}},$

что при раскрытии числа c равно

$\angle A=\arccos {\frac {b-a\cos \angle C}{c}},\qquad \angle B=\arccos {\frac {a-b\cos \angle C}{c}}.$

Три стороны

Три угла можно найти по теореме косинусов:

$\angle A=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}},\qquad \angle B=\arccos {\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}},\qquad \angle C=\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.$

Заметим одно любопытное свойство, что сумма этих арккосинусов равна τ/2 или π.