Тау (число)

← другие значения

Список чисел
Иррациональные числа ζ(3) (англ.) — √2 (англ.) — √3 (англ.) — √5 (англ.) — φ — α — e — π — δ — τ
Система счисления	Оценка числа τ
Двоичная	110,0100100001111111…
Десятичная	6,2831853071795864…
Шестнадцатеричная	6,487ed5110b4611a6…
Рациональное приближение	19⁄3, 44⁄7, 333⁄53, 710⁄113 … (в порядке увеличения точности)
Цепная дробь	$6+{\frac {1}{3+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{7+{\frac {1}{2+{\frac {1}{146+{\frac {1}{3+{\frac {1}{\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}$ (Цепная дробь не периодическая.)
Евклидова геометрия	$\tau$ радиан = 360°

Число Тау против числа Пи // Алла Кечеджан [1:53]

τ (тау) — математическая константа, представляющая собой отношение длины C окружности к её радиусу r:

$\tau ={\frac {C}{r}}.$

Так как каждая окружность геометрически подобна каждой, то данное определение не зависит от размеров окружности — и τ воспринимается просто как коэффициент перевода радиуса в периметр и наоборот.

Свойства

Тот факт, что определение этого числа не зависит от того, насколько мы растянем/сузим окружность с помощью пропорционального преобразования, неявно использует свойства евклидовой геометрии. В геометриях с другой кривизной отношение длины окружности к радиусу будет отличаться: например, в гиперболической геометрии отношение будет ниже, чем тау.

Число τ иррациональное. То есть его нельзя выразить в виде деления целых (или, что равносильно, рациональных) чисел, и тем самым число тау в десятичном представлении является непериодическим. Однако, как и любое иррациональное число, его можно приблизить дробями, такими как 6,28, 44/7. Десятичное представление числа τ является хаотичным, и среди его цифр находятся любопытные комбинации: например, с 761-й цифры после десятичного разделителя:

…9999999674…

Тем не менее не доказано, что среди цифр тау возможно встретить абсолютно любую конечную последовательность цифр. Например, комбинация 9999999 возможна, но не факт, что, скажем, миллион девяток подряд там вообще существуют и когда-либо обнаружатся.

Число τ трансцендентное (неалгебраическое). То есть не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми (равносильно — рациональными или даже алгебраическими) коэффициентами, не сводимого в тождественный нуль. Это означает, что число τ непостроимо:

• через циркуль и линейку (что было бы полезно только для алгебраических чисел не выше 2-й степени);
• и даже через невсис (годный уже для кубических алгебраических чисел, но тоже невсемогущий).

И, конечно же, важно отметить самое примечательное и в то же время очень очевидное: определение числа τ безумно напоминает определение числа π, отличие лишь в том, что в определении числа тау знаменатель в 2 раза ниже, не так ли? Да, число тау было просто предложено как альтернатива числу пи.

Пи

Зачем, если число τ просто равно 2π?

Смысл в том, что число тау было предложено 2001 году Робертом Пале в качестве конкурента за звание более естественной константы, чем π: Пале заметил, что многие значимые формулы с участием π по факту перегружены коэффициентом 2. Что, кстати, и правда объяснимо: довольно часто с математической и физической стороны более значимым и первичным объектом считается радиус, а не диаметр. Диаметр же представляет больший интерес разве что при измерении толщины/высоты объектов. О неправильности числа π Пале сочинил труд «π Is Wrong!».

Далее эстафетную палочку по продвижению идеи значимости и естественности числа тау принял Майкл Хартл, совершенно разделяя аргументы Пале. В итоге он в 2010 году посвятил манифест имени этого числа.

Аргументы за тау

Радиус и радиан

Основополагающим аргументом в пользу τ, концептуально определяющим сущность этого числа, называется то, что τ связывает длину окружности непосредственно с радиусом, а не с диаметром: именно через тау записывается формула C = τr и именно тау радиан (определение которых как раз корнями растёт к радиусу) представляет собой один полный оборот. В такой аргументации более фундаментальными математическими объектами выставляются радиус и радиан, а не диаметр и гипотетический «диаметран», который был бы призван как-то оправдать число π. То есть проблема «π версус τ» сводится к вопросу, почему именно радиус и почему именно радианы. С своём манифесте Хартл привёл два обоснования:

• производные от тригонометрических функций: например, $(\sin x)'=\cos x;$
• формула Эйлера: $e^{ix}=\cos x+i\sin x.$

Эти формулы верны исключительно в радианах. Фактически многие такие формулы уже имманентно подточены под них, свет на смысл чего проливают некоторые (полу-)геометрические доказательства. В других угловых мерах эти формулы будут просто перегружены неединичным коэффициентом. Например, в «диаметранах»:

$(\sin x)'=2\cos x,\qquad (\tan x)'={2\sec }^{2}x,\qquad (\sec x)'=2\tan x\sec x,\qquad \cos x+i\sin x=e^{2ix}$

и в градусах:

$(\sin x)'={\frac {\tau }{360}}\cos x,\qquad (\tan x)'={\frac {\tau }{360}}\sec ^{2}x,\qquad (\sec x)'={\frac {\tau }{360}}\tan x\sec x,\qquad \cos x+i\sin x=e^{{\frac {\tau }{360}}ix}.$

Ещё одним аргументом в пользу радиуса является то, что определение окружности невозможно задать через диаметр непосредственно: окружность — не единственная плоская кривая постоянной ширины. Под определение такой фигуры также попадают всякие многоугольники Рёло. И то даже ими список не исчерпывается. Не стоит также забывать, что вращения и колебания адекватнее выражаются именно в терминах радиуса. И речь не только про механическое вращение/колебание, но и про многие другие колебания иной природы: например, фотоны, квантовые струны, переменный ток.

Углы

В свете того, что радианы — это очень и, наверное, самая естественная угловая мера и поэтому закономерным образом о «диаметранах» никто даже не знает и никто не говорит, углы, представляющие собой рациональные доли оборота, удобнее выражать в терминах τ, чем π. Например, полоборота — τ/2, две трети оборота — 2τ/3, три четверти оборота — 3τ/4, одиннадцать двенадцатых оборота — 11τ/12, два плюс семь двенадцатых оборота — 2⁷⁄₁₂ τ. Каково в радианах было бы говорить: π, 4π/3, 3π/2, 11π/6, 5¹⁄₆ π? Насколько они сбивают толку, пытаясь представить, какую долю оборота они собой представляют? На первые четыре мы, может быть, с 10 класса уже набили руку как на углы, расположенные между 0 и 2π, но вот последнее может вызывать некоторые мучительные раздумия, даже несмотря на то, что знаменатель совершенно знакомый из табличных углов — 6.

Коэффициент 2

С вышеизложенным неразрывно связан аргумент о том, что во многих формулах множитель 2 преследует константу π:

усечённая постоянная Планка	$\hbar \equiv {\frac {h}{2\pi }}$
циклическая частота	$2\pi \nu =\omega$
интегрирование по всему 2D-пространству в полярных координатах	$\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }f(r,\theta )r{\text{ d}}r{\text{ d}}\theta$
интегральная формула Коши	$2\pi i\times f(x_{0})=\int _{C^{+}}{\frac {f(x){\text{ d}}x}{x-x_{0}}}$
дзета-функция Римана для чётных положительных	$\zeta (x)={\frac {|B_{x}|}{2\cdot x!}}(2\pi )^{x}$
комплексные корни из 1	$x^{n}=1\Leftrightarrow x=e^{2\pi i{\frac {m}{n}}}$
преобразование Фурье	$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }F(k)e^{2\pi ikx}{\text{d}}k$

Там, где это не так, на самом деле тау всё равно выползает очень естественным образом, и по объективным причинам использование чистого π в них понимается просто как совпадение. И данные формулы не были избирательно подобраны — учебники математики и физики кишат ими повсюду. С этим преследованием числа пи коэффициентом 2 тесно связано то, что в «диаметранах» многие формулы тоже осложняются коэффициентом 2.

Точка Фейнмана

Данный аргумент не особо серьёзный и скорее чисто символический. У числа π точка Фейнмана представляет собой 6 девяток подряд, начиная с 762-й цифры после десятичного разделителя, тогда как τ обгоняет его на 1 девятку больше.

Тождество Эйлера

Это тождество считается самым красивым математическим утверждением. Оно основывается на формуле Эйлера e^iφ = cos φ + i sin φ, которая связывает геометрию окружности с комплексным возведением в степень. И при φ = τ получается то самое тождество:

$e^{i\tau }=1,$

которое нам намекает: поворот на +τ радиан — это 1. Получается почти тавтология. Разумеется, это тождество традиционно формулируется не через τ, но об этом отдельно.

Аргументы против тау

Спойлер: на самом деле объективно многие из них несостоятельны и при более честном рассмотрении играют даже в пользу τ. Именно это было показано в манифесте Майкла Хартла.

Аргументы и их разоблачения вынесены в отдельную страницу, ибо занимают большой объём.

Одним из ресурсов, посвящённым аргументам в пользу числа π, служит статья The Pi Manifesto на домене thepimanifesto.com (домен не работает, но есть архивная копия с последней версией статьи).

Обозначения

Первоначально в своей статье Роберт Пале предлагал обозначение числа 2π как пи с тремя ножками:

$\pi \!\!\!\!\!\ \ \pi ,$

который в синтаксическом представлении LaTeX представлял собой две буквы пи, сдвинутые друг к другу. Однако Майкл Хартл в своём манифесте назвал это не особо удачным символом («but unfortunately the symbol is rather strange, and (as discussed in Section 4) it seems unlikely to gain wide adoption») и предложил греческую букву тау.