Действительные числа

Действительные числа // Мрия Урок

Лекция 2: Вещественные числа // НОУ ИНТУИТ

Действительные числа (вещественные числа) в их совокупности — это математический объект, представляющий собой классический одномерный континуум; каждое же отдельное вещественное число точно и строго выражает произвольную конечную и конечно малую величину на одном линейном протяжении («измерении»), либо отрицание этой величины.

На уровне аксиоматических определений, вещественные это расширение поля рациональных чисел, их пополнение — такое, что каждой точке прямой с отмеченной точкой (нулём) и заданной мерой протяжённости (единичным отрезком) соответствует некоторое допустимое значение: умножая единицу на это значение, мы получаем меру длины отрезка от нуля до данной точки.

В математической нотации множество (или хотя бы «совокупность») вещественных обозначается символом [math]\mathbb R[/math]. Вещественные числа вводятся через допущение бесконечного продолжения десятичных дробей, то есть, это числа вида:

r = ±b, b₁b₂b₃… = ±(b + b₁10⁻¹ + b₂10⁻² + b₃10⁻³ + …),

где b — натуральное число или ноль (может принимать любое значение из множества [math]\mathbb N[/math] ∪ {0}); b₁, b₂, … — натуральные числа из множества {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, то есть, арабские цифры и ноль.
При этом положительным числам r соответствует знак «+» слева (обычно опускается), отрицательным — знак «−».

Числовая прямая

Примеры вещественных чисел: -5, -1, −13/19, 0, 0.1, 0.(3) = 1/3, 6, (гуглоплекс - 0.1), [math]\sqrt 2[/math] = 1,414…, log₂3, π = 3,1415…, e = 2,71828…, число 0,1234567891011121314151617… и т. д.

Вещественные числа линейно (притом не вполне), упорядоченны: любые два разных вещественных числа можно сравнить. В частности, позиционная запись позволяет это сравнение проводить итеративно, сопоставляя каждый разряд, покуда не найдём разницу.

Вещественные числа образуют поле, множество вещественных чисел имеет мощность континуум (оно несчетно, и их нельзя поставить во взаимно-однозначное соответствие со множеством натуральных чисел, то есть «перенумеровать»). В современной математике вещественные числа определяются как полное упорядоченное поле или как пополнение поля рациональных чисел по стандартной метрике.

Рациональные и иррациональные числа

Поле вещественных чисел можно представлять себе как непересекающееся объединение рациональных и иррациональных чисел. Таким образом, иррациональные числа — вещественные числа, не являющиеся рациональными (не представимые в виде отношения целых чисел).

Поле действительных (вещественных) чисел [math]\mathbb R[/math], как сказано выше, можно представлять, например, как множество бесконечных десятичных дробей (так оно часто определяется в школьном курсе математики). Данный способ записи содержит некоторую неоднозначность, чтобы ее не было обычно не допускают бесконечные «хвосты» девяток на конце числа (то есть число 0,1199999… записывают как 0,1200000… и т. п.). Выбор числа 10 как основания системы счисления объясняется историческими причинами, и можно взять за основание позиционной системы счисления любое натуральное число, большее 1. Рациональным числам соответствуют периодические десятичные дроби (то есть такие, в которых есть бесконечное повторение одной и той же последовательности, начиная с некоторой позиции). Например, 1,0333333… = 31/30 — рациональное число, а [math]\sqrt 2[/math] = 1,414…, log₂3, π = 3,1415…, e = 2,71828…, число 0,1234567891011121314151617… — иррациональные числа, представляющие их бесконечные десятичные дроби непериодичны.

Любое рациональное число с помощью алгоритма Евклида может быть единственным образом представлено в виде (конечной) цепной дроби:
[math]\frac{m}{n} = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_k} }}}[/math]
(a₀ — целое число, a_i — натуральные при 1 ≤ i ≤ k, и обычно полагается, что последний элемент a_k > 1, если рациональное число m/n — не целое).

Иррациональные числа тоже представляются в виде цепных дробей, только бесконечных: [math]r = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_k + \cfrac{1}{\ddots}}}}}[/math].

Аксиоматическое определение

Вещественные числа можно определить аксиоматически. Записанные в сокращенном виде аксиомы вещественных чисел выглядят так.

Пусть на множестве [math]X[/math] заданы две бинарные операции — сложение (+) и умножение (·), а также задано отношение порядка . Четвёрка [math](X,+,\cdot,\le)[/math] называется полным упорядоченным полем, если

1. [math](X,+,\cdot)[/math] представляет собой алгебраическое поле;
2. [math](X,\le)[/math] является полностью упорядоченным множество с отношением порядка, то есть
   • порядок устойчив относительно сложения:

     [math]\forall x,y,z\in X \quad \bigl( x \le y \bigr) \Rightarrow \bigl( x+z \le y+z \bigr)[/math]

   • порядок устойчив относительно умножения:

     [math]\forall x,y\in X \quad \bigl(0 \le x\bigr) \wedge \bigl( 0 \le y \bigr) \Rightarrow \bigl( 0 \le x \cdot y \bigr)[/math].

3. упорядоченное множество [math](X,\le)[/math] удовлетворяет принципу полноты, у которого есть три эквивалентные формулировки:
   1. если A и B непустые подмножества действительных чисел и для любых a из A и b из B выполняется неравенство a < b, то существует такое действительное число c, что для любых a из A и b из B a ≤ с ≤ b.
   2. любая последовательность вложенных отрезков (то есть любой отрезок последовательности содержит отрезки с большими номерами) имеет общую точку (Принцип полноты Кантора).
   3. любое непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет точную верхнюю грань (принцип полноты Вейерштрасса, его также можно сформулировать в виде, что любое непустое ограниченное снизу множество вещественных чисел имеет точную нижнюю грань).

Доказывается, что эти аксиомы определяют единственный с точностью до изоморфизма объект (сами числа, как уже сказано выше, можно представлять в виде бесконечных десятичных дробей).

Из этих аксиом выводятся остальные свойства вещественных чисел.

История

В Древней Греции было обнаружено, что рациональных чисел недостаточно для отображения точек числовой прямой, поскольку корень из 2 (длина диагонали квадрата со стороной 1) является иррациональным числом, не представимым в виде отношения целых чисел m/n. В дальнейшем появилось понимание, что вещественное число можно представлять себе как отношение, например отношение длины выбранного отрезка к заданному эталону. Это определение вещественного числа встречается у Ньютона. Современные более строгие концепции вещественных чисел появились в трудах Больцано, Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора.

Поле вещественных чисел лежит в основе математического анализа.

Обобщения

В алгебре и анализе вводятся комплексные числа — числа, представляющих собой сумму вещественного и мнимого числа (вещественное число, умноженное на абстрактную величину «корень из −1», обозначаемую буквой i). В рамках нестандартного анализа к вещественным числам добавляют бесконечно малые и бесконечно большие числа разных порядков. Рассматривается также алгебра кватернионов и др. обобщения.

Рациональные числа можно расширить не только до поля вещественных чисел, но и до поля p-адических чисел, если использовать другую метрику, связанную с делимостью на заданное простое число p (у «маленьких чисел» числитель дроби в несократимом представлении делится на «большую» степень простого числа p) и рассмотреть пополнение рациональных чисел по этой метрике. На базе p-адических чисел удается построить аналоги многих конструкций из математического анализа, созданных для вещественных чисел.

Литература

• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука. Т. 1. С древнейших времен до начала Нового времени. (1970); Т. 2 Математика XVII столетия. (1970); Т. 3 Математика XVIII столетия. (1972).
• Кириллов А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
• Понтрягин Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.

Ссылки

• Вещественные числа в Абсурдопедии на Викии (юмористическая статья)

[+] Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа ([math]\scriptstyle\mathbb{N}[/math]) • Целые ([math]\scriptstyle\mathbb{Z}[/math]) • Рациональные ([math]\scriptstyle\mathbb{Q}[/math]) • Алгебраические ([math]\scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}[/math]) • Периоды • Вычислимые
Действительные числа и их расширения	Действительные (вещественные) ([math]\scriptstyle\mathbb{R}[/math]) • Комплексные ([math]\scriptstyle\mathbb{C}[/math]) • Кватернионы ([math]\scriptstyle\mathbb{H}[/math]) • Числа Кэли (октавы, октонионы) ([math]\scriptstyle\mathbb{O}[/math]) • Седенионы ([math]\scriptstyle\mathbb{S}[/math]) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные • Сюрреальные
Другие числовые системы	Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные числа • Числовой луч • Положительные числа • Бикватернионы • Координатизация • Расширение понятия числа