Циклопедия скорбит по жертвам террористического акта в Крокус-Сити (Красногорск, МО)

Поле (алгебра)

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
33. Кольца и поля остатков // Маткульт-привет! :: Алексей Савватеев и Ко

Поле в алгебре — математический объект, определяемый в современной математике как коммутативное ассоциативное кольцо, в котором любой ненулевой элемент имеет обратный по умножению. Также обычно считается, что при этом 1 ≠ 0 (то есть нейтральные элементы по сложению и умножению различны). Характерные примеры полей: действительные числа , рациональные числа . Концепция поля была введена в XIX веке в работах по решению классической проблемы нахождения формул для решения полиномиального уравнения -й степени. Поле является базовым объектом коммутативной алгебры, на основе понятия поля строится алгебраическая геометрия.

В учебниках алгебры поле обычно обозначается латинской буквой K или F.

Развернутое определение[править]

Поле — нетривиальное[1] множество (алгебраическая структура) с бинарными операциями сложения + и умножения , которые:

  • коммутативны , ;
  • ассоциативны , ;
  • умножение дистрибутивно по отношению к сложению ;
  • любой элемент имеет противоположный по сложению такой, что ;
  • любой ненулевой элемент имеет обратный по умножению такой, что .

Примеры и конструкции[править]

Примеры полей: поле рациональных чисел , поле действительных чисел , конечное поле из элементов ( — простое число), поле рациональных функций от одной переменной (где  — некоторое поле).

Поле можно получить из целостного кольца, то есть кольца с коммутативным и ассоциативным умножением, без делителей нуля (произведение ненулевых элементов не равно нулю), если взять его поле частных, то есть ввести естественным образом сложение и умножение на множестве формальных дробей (). Таким образом, например, из кольца целых чисел получается поле рациональных чисел .

Если дано поле , то вмещающим его полем будет алгебраическое замыкание , получающееся путем присоединения всех корней алгебраических уравнений с коэффициентами поля . Например, алгебраическим замыканием поля действительных чисел является поле комплексных чисел . Для доказательства существования алгебраического замыкания в общем случае требуется использование аксиомы выбора.

Поле с введенной на нем метрикой может быть вложено как метрическое пространство в свое пополнение (то есть в пополнении любая фундаментальная последовательность будет иметь предел). На пополнении можно ввести структуру поля, продолжив операции сложения и умножения по непрерывности. Так, пополнением поля рациональных чисел по стандартной метрике (расстояние между числами равно модулю их разности) будет полем действительных чисел . Пополнением поля рациональных чисел по метрике, задаваемой -адической нормой, будет полем -адических чисел .[2]

В алгебраической геометрии вводится поле рациональных функций на алгебраическом многообразии , например, поле рациональных функций на кривой.

Конечные поля[править]

Поле, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным полем (упоминавшиеся выше поля рациональных и действительных чисел бесконечные). Примером конечного поля будет кольцо вычетов по модулю , состоящее из элементов если  — простое число. Любое конечное поле имеет для некоторого простого числа и существует ровно одно поле из элементов для каждого простого числа и каждого натурального числа . Группа ненулевых элементов по умножению конечного поля является циклической. Конечные поля используются в теории кодирования и криптографии.

История[править]

Концепция поля появилась в XIX веке в работах Нильса Абеля и Галуа, посвященных проблеме разрешимости уравнений в радикалах. Эта проблема была поставлена в связи с необходимостью решать уравнение -й степени в радикалах, т. е. найти выражения для решений этого уравнения с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней различных степеней. К XIX веку были найдены выражения для решения общих уравнений 1, 2, 3, 4-й степени, но не было известно формул для решения общих уравнений более высоких степеней. Теория Галуа, оперирующая с полями, прояснила этот вопрос. Классическая теория Галуа имеет дело с конечными алгебраическими расширениями полей, которые представляют собой расширения исходного поля (например, поля рациональных чисел ) путем присоединения конечного числа корней уравнений с коэффициентами из базового поля. Галуа сопоставил таким расширениям конечные группы автоморфизмов, сохраняющих на месте базовое подполе, и доказал, что разрешимость уравнения в радикалах эквивалентна разрешимости конечной группы соответствующего алгебраического расширения, тем самым решив классическую математическую проблему о разрешимости алгебраических полиномиальных уравнений в радикалах. Например, из теории Галуа следует, что общее уравнение пятой степени и выше неразрешимо в радикалах.

Термин «поле» появился позднее в XIX веке и введен в математических работах Дедекинда.

Примечания[править]

  1. Т.е. состоит из более, чем одного элемента
  2. Любое рациональное число можно представить как где и целые числа, не делящиеся на заданное простое число , а  — целое. Тогда  — -адическая норма  — определяется как . Если , то .

Литература[править]

  • Ван дер Варден Б. Л. Современная алгебра. т.т.1-2, М-Л: ОНТИ НКТП, 1937.