Действительные числа

Действительные числа // Мрия Урок

Курс лекций «Математический анализ». Часть 2: Вещественные числа // Российская экономическая школа (читает Павел Константинович Катышев) [45:12]

Действительные числа (вещественные числа), в их совокупности — математический объект, представляющий собой расширение поля рациональных чисел, их пополнение, такое, что каждой точке прямой с отмеченной точкой (нулем) и заданной мерой длины (единичным отрезком) соответствует некоторое (вещественное) число.

Обычно их совокупность обозначается символом $\mathbb {R}$ (от real numbers). Вещественные числа можно представлять в виде бесконечных десятичных дробей, то есть это числа вида:

r = ±b, b₁b₂b₃… = ±(b + b₁10¹ + b₂10² + b₃10³ + …),

где b — натуральное число или 0 (может принимать любое значение из множества $\mathbb {N}$ ∪ {0}),

b₁, b₂, … — десятичные цифры (натуральные числа из множества {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}).

Могут быть либо положительными, либо отрицательными, либо это число 0, у отрицательных чисел указывается знак «минус» спереди.

Общая информация

Каждое отдельное вещественное число точно и строго выражает произвольную конечную и конечно малую величину на одном линейном протяжении («измерении»), — либо эту величину со знаком «минус». При этом вещественное число — математическая абстракция (как и точка, прямая и т. д.).

На уровне аксиоматических определений, вещественные числа это расширение поля рациональных чисел, их пополнение — такое, где каждой точке на прямой с отмеченной точкой отсчёта (нулём) и заданной мерой протяжённости (единичным отрезком) соответствует некоторое допустимое значение: умножая единицу на это значение, мы получаем меру длины отрезка от нуля до данной точки.

В математической нотации множество (или ж хотя бы «совокупность») действительных чисел обозначается символом $\mathbb {R}$. Вещественные числа вводятся через допущение бесконечного продолжения десятичных дробей, то есть, это числа вида:

r = ±b, b₁b₂b₃… = ±(b + b₁10⁻¹ + b₂10⁻² + b₃10⁻³ + …),

где b — натуральное число или ноль (может принимать любое значение из множества $\mathbb {N}$ ∪ {0}); b₁, b₂, … — натуральные числа из множества {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, то есть, арабские цифры и ноль.
При этом положительным числам r соответствует знак «+» слева (обычно опускается), а отрицательным — знак «−».

Числовая прямая

Примеры вещественных чисел: −5; −1; −13/19; 0; 0,1; 0,(3) = 1/3; 6; (гуглоплекс — 10¹⁰¹⁰⁰); ${\sqrt {2}}$ = 1,414…; log₂3; π = 3,1415…; e = 2,71828…; число 0,1234567891011121314151617… и так далее ad infinitum.

Вещественные числа линейно (притом не вполне), упорядочены: любые два различных вещественных числа можно сравнить. В частности, позиционная запись позволяет это сравнение проводить итеративно, — сопоставляя каждый разряд, покуда не найдём разницу.

Вещественные числа в алгебре образуют поле. Множество вещественных чисел имеет мощность континуум: оно несчётно, и их нельзя поставить во взаимно-однозначное соответствие (изоморфизм) со множеством натуральных чисел, то есть, «перенумеровать». В современной математике вещественные числа определяются, как полное упорядоченное поле или как пополнение поля рациональных чисел по стандартной метрике.

Рациональные и иррациональные числа

Поле вещественных чисел можно представлять, как непересекающееся объединение рациональных и иррациональных чисел. Таким образом, иррациональные числа — вещественные числа, не являющиеся рациональными (не представимые в виде отношения целых чисел).

Поле действительных (вещественных) чисел $\mathbb {R}$, как сказано выше, можно представлять, например, как множество бесконечных десятичных дробей (так оно часто определяется в школьном курсе математики). Данный способ записи содержит некоторую неоднозначность, чтобы ее не было обычно не допускают бесконечные «хвосты» девяток на конце числа (то есть число 0,1199999… записывают как 0,1200000… и т. п.). Выбор числа 10 как основания системы счисления объясняется историческими причинами, и можно взять за основание позиционной системы счисления любое натуральное число, большее 1. Рациональным числам соответствуют периодические десятичные дроби (то есть такие, в которых есть бесконечное повторение одной и той же последовательности, начиная с некоторой позиции). Например, 1,0333333… = 31/30 — рациональное число, а ${\sqrt {2}}$ = 1,414…, log₂3, π = 3,1415…, e = 2,71828…, число 0,1234567891011121314151617… — иррациональные числа, представляющие их бесконечные десятичные дроби непериодичны.

Любое рациональное число с помощью алгоритма Евклида может быть единственным образом представлено в виде (конечной) цепной дроби:
${\frac {m}{n}}=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{k}}}}}}}}}$
(a₀ — целое число, a_i — натуральные при 1 ≤ i ≤ k, и обычно полагается, что последний элемент a_k > 1, если рациональное число m/n — не целое).

Иррациональные числа тоже представляются в виде цепных дробей, только бесконечных: $r=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{k}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}$.

Аксиоматическое определение

Вещественные числа можно определить аксиоматически. Записанные в сокращенном виде аксиомы вещественных чисел выглядят так.

Пусть на множестве $X$ заданы две бинарные операции — сложение (+) и умножение (·), а также задано отношение порядка . Четвёрка $(X,+,\cdot ,\leq )$ называется полным упорядоченным полем, если

1. $(X,+,\cdot )$ представляет собой алгебраическое поле;
2. $(X,\leq )$ является полностью упорядоченным множество с отношением порядка, то есть
   • порядок устойчив относительно сложения:

     $\forall x,y,z\in X\quad {\bigl (}x\leq y{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}x+z\leq y+z{\bigr )}$

   • порядок устойчив относительно умножения:

     $\forall x,y\in X\quad {\bigl (}0\leq x{\bigr )}\wedge {\bigl (}0\leq y{\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}0\leq x\cdot y{\bigr )}$.

3. упорядоченное множество $(X,\leq )$ удовлетворяет принципу полноты, у которого есть три эквивалентные формулировки:
   1. если A и B непустые подмножества действительных чисел и для любых a из A и b из B выполняется неравенство a < b, то существует такое действительное число c, что для любых a из A и b из B a ≤ с ≤ b.
   2. любая последовательность вложенных отрезков (то есть любой отрезок последовательности содержит отрезки с большими номерами) имеет общую точку (Принцип полноты Кантора).
   3. любое непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет точную верхнюю грань (принцип полноты Вейерштрасса, его также можно сформулировать в виде, что любое непустое ограниченное снизу множество вещественных чисел имеет точную нижнюю грань).

Доказывается, что эти аксиомы определяют единственный с точностью до изоморфизма объект (сами числа, как уже сказано выше, можно представлять в виде бесконечных десятичных дробей).

Из этих аксиом выводятся остальные свойства вещественных чисел.

История

В Древней Греции было обнаружено, что рациональных чисел недостаточно для отображения точек числовой прямой, поскольку корень из 2 (длина диагонали квадрата со стороной 1) является иррациональным числом, не представимым в виде отношения целых чисел m/n. В дальнейшем появилось понимание, что вещественное число можно представлять себе как отношение, например отношение длины выбранного отрезка к заданному эталону. Это определение вещественного числа встречается у Ньютона. Современные более строгие концепции вещественных чисел появились в трудах Больцано, Вейерштрасса, Дедекинда и Кантора.

Поле вещественных чисел лежит в основе «стандартного» математического анализа.

Термин «вещественные числа» имеет древние корни, и его использование может быть прослежено до древней Греции и античных математиков.

Термин «действительные числа» в математике был введен германским математиком Германом Кантором в конце 19 века. Как пишет Дж. У. Даубен в работе «Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств»:

Кантор принял за аксиому, что всякой точке непрерывной линии соответствует некоторое число, которое он назвал действительным числом, чтобы отличить его от «мнимых» чисел, кратных ${\sqrt {-1}}$. Обратно, каждому действительному числу соответствует только одна точка прямой.

Обобщения

В алгебре и анализе вводятся комплексные числа — числа, представляющих собой сумму вещественного и мнимого числа (вещественное число, умноженное на абстрактную величину «корень из −1», обозначаемую буквой i). В рамках нестандартного анализа к вещественным числам добавляют бесконечно малые и бесконечно большие числа разных порядков. Рассматривается также алгебра кватернионов и др. обобщения.

Рациональные числа можно расширить не только до поля вещественных чисел, но и до поля p-адических чисел, если использовать другую метрику, связанную с делимостью на заданное простое число p (у «маленьких чисел» числитель дроби в несократимом представлении делится на «большую» степень простого числа p) и рассмотреть пополнение рациональных чисел по этой метрике. На базе p-адических чисел удается построить аналоги многих конструкций из математического анализа, созданных для вещественных чисел.

См. также

• Реальность

Литература

• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука. Т. 1. С древнейших времен до начала Нового времени. (1970); Т. 2 Математика XVII столетия. (1970); Т. 3 Математика XVIII столетия. (1972).
• Кириллов А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
• Понтрягин Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.

Ссылки

• Вещественные числа в Абсурдопедии на Викии (юмористическая статья)
• Вещественные числа в Неолурке

Числовые системы ↑ [+]
Счётные множества	Натуральные числа ($\scriptstyle \mathbb {N}$) • Целые ($\scriptstyle \mathbb {Z}$) • Рациональные ($\scriptstyle \mathbb {Q}$) • Алгебраические ($\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$) • Периоды • Вычислимые
Действительные числа и их расширения	Действительные (вещественные) ($\scriptstyle \mathbb {R}$) • Комплексные ($\scriptstyle \mathbb {C}$) • Кватернионы ($\scriptstyle \mathbb {H}$) • Числа Кэли (октавы, октонионы) ($\scriptstyle \mathbb {O}$) • Седенионы ($\scriptstyle \mathbb {S}$) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные
Прочие числовые системы	Кардинальные числа • Порядковые (трансфинитные, ординалы) • p-адические • Сверхнатуральные • Сюрреальные
Иные классы чисел	Двойные • Иррациональные • Трансцендентные • Числовой луч • Положительные числа • Простые числа • Бикватернионы • Координатизация • Расширение понятия числа