Натуральные числа

Kampus.kz: Математика. Урок 1 - Числа: Натуральные числа

Математика. Натуральные числа: Натуральные числа. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд» [4:55]

Натуральные чи́сла — математические объекты (числа), каждый из которых выражает то или иное конечное количество объектов, то есть мощность множества этих объектов.

В полной совокупности натуральные числа суть, в свою очередь, математический объект иного рода: бесконечная последовательность натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… ad infinitum — где у каждого числа «своё» место и заведомо уникальный номер. Это исчислимое бесконечное вполне упорядоченное множество с минимальным элементом (нуль или единица) и алгебраически познанное законами арифметики.

Понятие о натуральном числе и соответствующая теоретическая концепция прослеживается с глубокой древности культуры человечества. Познание натуральных чисел на элементарном уровне проходит как в быту, так и в самом начале путей образования. На более глубоком математическом уровне натуральные числа изучаются в теории чисел («высшая арифметика»). Натуральные числа это наиболее естественная основа для построения иных числовых систем, и, в таком ключе, — представляются корневым объектом классической математики.

В математической традиции с XIX века натуральные числа определяются через аксиомы и зачастую включают 0 (нуль или ноль,) — мощность пустого множества, «количество» «ни одного предмета» (в российской математической литературе 0 обычно не считается натуральным числом). Распространенное обозначение множества натуральных чисел — ℕ.

Формальное определение

Индуктивное (рекурсивное) определение: Натуральные числа, не считая ноля, — это единица или её сумма с любым другим натуральным числом.

Натуральные числа могут быть описаны аксиоматически. Одна из возможных систем — аксиомы арифметики Пеано:

1. Единица есть натуральное число: $1\in \mathbb {N}$;
2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным числом: $n\in \mathbb {N} \implies n+1\in \mathbb {N}$;
3. Единица не следует ни за каким натуральным числом: $\nexists n:n+1=1$
4. Если натуральное число a следует за натуральным числом b и a следует за натуральным числом с, то b = c: $(a=b+1)\land (a=c+1)\implies b=c$;
5. Аксиома математической индукции: Если утверждение (зависящее от параметра) доказано для числа 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, следует, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это утверждение верно для всех натуральных чисел.

Последняя аксиома позволяет доказывать утверждения сразу обо всей бесконечной последовательности натуральных чисел с помощью метода математической индукции.

Система обозначения

Существуют различные методы обозначения натуральных чисел, обычно называемые системами счисления. С дополнением метки-заполнителя — структурного ноля — натуральные числа можно записать в произвольной позиционной системе счисления, например, — в двоичной (обычно применяемой в компьютерах): 1, 10, 11, 100, 101… — или в распространенной в настоящее время в литературе и в быту десятичной: десятью арабскими цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно записать любое число: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … 99, 100, 101, 102 … В языке выражаются через числительные.

Всякая из этих систем — способ производства уникального номера для любого из бесконечного множества чисел. Из формы этого названия можно обычно без справочных материалов получить идентичность натурального числа, его место в ряду натуральных и другие свойства (например, делимость.)

История

Первые представления о числе возникли в глубокой древности и были связаны с практической необходимостью счёта предметов. При описании большого их количества употреблялись понятия типа «куча», «толпа», «стадо» и т.д.

Многие народы для счёта использовали различные предметы (например, камни, ракушки, кости), однако основным способом всё же являлись пальцы. Позднее при возникновении необходимости фиксации относительно больших величин появились новые способы счёта, например, зарубки на палочке.

Появление письменности способствовало значительному расширению представления о числе и его использованию.

Сначала числа начали обозначать чёрточками на различных материалах: египтяне — на папирусе, шумеры — на глиняных табличках и т.п. Позднее появились так называемые «римские цифры», среди которых помимо черт появились специальные знаки для упрощения обозначения больших чисел.

Ряд древних цивилизаций: Древнее Междуречье, Древний Египет, Древний Китай, Майя знали натуральные числа и имели различные знаковые системы для указания (фиксации, означения). Концепция числа ноль, по видимому, появилась позже, чем понятие натуральных чисел: явное употребление структурного нуля известно у культур Вавилон и Майя.

Одним из важных шагов в развитии понятия числа является осознание бесконечности: первые документальные подтверждения о невозможности закончить ряд натуральных чисел найдены в трудах Евклида и Архимеда, написанных в III веке до н. э.

Огромным шагом на пути создания универсальной системы счисления стало введение индийцами записи любого числа при помощи десяти знаков — цифр. Впоследствии эта десятиричная система через арабские страны с некоторыми изменениями попала в Европу и в итоге стала основой для счёта в современном мире.

С развитием понятия натуральных чисел появилась необходимость выполнения действия с ними. Сначала ими стали сложение и вычитание, которые возникли из необходимости объединения двух совокупностей в одну или отделения от одной совокупности другой соответственно. Когда появилась надобность считать предметы не по одному, а сразу по несколько (по два, три, четыре и т.д.), судя по всему, появилось умножение, а разделение множества на равные части привело к понятию деления.

Изначально эти действия носили чисто практический характер, однако в дальнейшем в ходе осознания отвлечённого характера самих чисел и действий над ними зародилась наука арифметика.

Как отдельная наука, изучающая чистые, формальные свойства натуральных чисел, Теория чисел, или высшая арифметика, основополагается в работах математика-любителя Пьера де Ферма.

Термин «натуральные числа» («natural numbers» на английском) происходит от латинского слова «naturales», что можно перевести как «по природе» или «естественные». Натуральные числа называются так из-за того, что они являются самыми естественными и базовыми числами, которые люди начали использовать для подсчета и измерения вещей в повседневной жизни.

Операции

Натуральные числа целиком охвачены арифметикой, так как можно:

• их складывать и перемножать любым образом,
• вычитать меньшее число из большего,
• делить число на любой из образующих его множителей.

По сложению натуральные числа образуют коммутативную полугруппу: любые два натуральных числа можно сложить, и сложение коммутативно и ассоциативно:

$a+b=b+a$ (коммутативность или перестановочное свойство: от перемены мест слагаемых сумма не меняется)

$(a+b)+c=a+(b+c)$ (ассоциативность)

Умножение натуральных чисел также коммутативно и ассоциативно:

$a\cdot b=b\cdot a$

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Умножение дистрибутивно по сложению:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Натуральные числа — множество вполне упорядоченное: в любом подмножестве будет минимальный элемент. Это словно «отражение» правила индукции, принцип метода бесконечного спуска.

Если из большего числа «отсчитать обратно по единице», «вычесть», меньшее, то получится другое меньшее, а $a-b=b,a>b\iff a=2b$. Уже́ у целых чисел такое определение нарушается ровно в «другой половине случаев», когда вычитается отрицательное, выдавая число, большее первого.

Каждое натуральное число >1 обладает единственным с точностью до порядка сомножителей разложением (факторизацией) на простые множители. Это Основная теорема арифметики.

Расширение до целых чисел и дальше

Если к натуральным числам добавить ноль и отрицательные числа (обратные натуральным по сложению), то в совокупности получится расширение понятия числа до кольца целых чисел $\mathbb {Z}$, которое наиболее четко являет основу теории чисел. Отрицательные числа можно мыслить, как получаемые от обратного счёта — последовательного убавления по единице — которое вводит ряд отрицательных чисел. Из тех каждое сложением обнуляет противоположное ему натуральное: $n+(-n)=0$.

Если рассматривать отношения целых чисел — дроби — то получится поле рациональных чисел $\mathbb {Q}$. Пополнение этого поля по стандартной метрике (расстояние между числами равно модулю их разности) будет представлять собой поле действительных чисел $\mathbb {R}$, представимое как допустимо бесконечные и апериодичные цепные дроби. Алгебраическое замыкание поля действительных чисел образует поле комплексных чисел $\mathbb {C}$ (его можно представлять как поле действительных чисел, к которому добавлена мнимая единица $i$: $i^{2}=-1$.

Литература

• Бухштаб А. А. Теория чисел — М.: «Просвещение», 1966.
• К. Айерленд, М. Роузен, Классическое введение в современную теорию чисел — М., 1987.

Ссылки

• Натуральные числа в Неолурке

Числовые системы ↑ [+]
Счётные множества	Натуральные числа ($\scriptstyle \mathbb {N}$) • Целые ($\scriptstyle \mathbb {Z}$) • Рациональные ($\scriptstyle \mathbb {Q}$) • Алгебраические ($\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$) • Периоды • Вычислимые
Действительные числа и их расширения	Действительные (вещественные) ($\scriptstyle \mathbb {R}$) • Комплексные ($\scriptstyle \mathbb {C}$) • Кватернионы ($\scriptstyle \mathbb {H}$) • Числа Кэли (октавы, октонионы) ($\scriptstyle \mathbb {O}$) • Седенионы ($\scriptstyle \mathbb {S}$) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные
Прочие числовые системы	Кардинальные числа • Порядковые (трансфинитные, ординалы) • p-адические • Сверхнатуральные • Сюрреальные
Иные классы чисел	Двойные • Иррациональные • Трансцендентные • Числовой луч • Положительные числа • Простые числа • Бикватернионы • Координатизация • Расширение понятия числа