Натуральные числа

Kampus.kz: Математика. Урок 1 - Числа: Натуральные числа

Математика. Натуральные числа: Натуральные числа. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд» [4:55]

Натуральные чи́сла — математические объекты (числа), каждый из которых выражает то или иное конечное количество объектов, то есть мощность множества этих объектов.

В полной совокупности натуральные числа суть, в свою очередь, математический объект иного рода: бесконечная последовательность натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… ad infinitum — где у каждого числа «своё» место и заведомо уникальный номер. Это исчислимое бесконечное вполне упорядоченное множество с минимальным элементом (нуль или единица) и алгебраически познанное законами арифметики.

Понятие о натуральном числе и соответствующая теоретическая концепция прослеживается с глубокой древности культуры человечества. Познание натуральных чисел на элементарном уровне проходит как в быту, так и в самом начале путей образования. На более глубоком математическом уровне натуральные числа изучаются в теории чисел («высшая арифметика»). Натуральные числа это наиболее естественная основа для построения иных числовых систем, и, в таком ключе, — представляются корневым объектом классической математики.

В математической традиции с XIX века натуральные числа определяются через аксиомы и зачастую включают 0 (нуль или ноль,) — мощность пустого множества, «количество» «ни одного предмета» (в российской математической литературе 0 обычно не считается натуральным числом). Распространенное обозначение множества натуральных чисел — ℕ.

Формальное определение

Индуктивное (рекурсивное) определение: Натуральные числа, не считая ноля, — это единица или её сумма с любым другим натуральным числом.

Натуральные числа могут быть описаны аксиоматически. Одна из возможных систем — аксиомы арифметики Пеано:

1. Единица есть натуральное число: $1\in \mathbb {N}$;
2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным числом: $n\in \mathbb {N} \implies n+1\in \mathbb {N}$;
3. Единица не следует ни за каким натуральным числом: $\nexists n:n+1=1$
4. Если натуральное число a следует за натуральным числом b и a следует за натуральным числом с, то b = c: $(a=b+1)\land (a=c+1)\implies b=c$;
5. Аксиома математической индукции: Если утверждение (зависящее от параметра) доказано для числа 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, следует, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это утверждение верно для всех натуральных чисел.

Последняя аксиома позволяет доказывать утверждения сразу обо всей бесконечной последовательности натуральных чисел с помощью метода математической индукции.

Система обозначения

Существуют различные методы обозначения натуральных чисел, обычно называемые системами счисления. С дополнением метки-заполнителя — структурного ноля — натуральные числа можно записать в произвольной позиционной системе счисления, например, — в двоичной (обычно применяемой в компьютерах): 1, 10, 11, 100, 101… — или в распространенной в настоящее время в литературе и в быту десятичной: десятью арабскими цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно записать любое число: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … 99, 100, 101, 102 … В языке выражаются через числительные.

Всякая из этих систем — способ производства уникального номера для любого из бесконечного множества чисел. Из формы этого названия можно обычно без справочных материалов получить идентичность натурального числа, его место в ряду натуральных и другие свойства (например, делимость.)

История

Ряд древних цивилизаций: Древнее Междуречье, Древний Египет, Древний Китай, Майя знали натуральные числа и имели различные знаковые системы для указания (фиксации, означения). Концепция числа ноль, по видимому, появилась позже, чем понятие натуральных чисел: явное употребление структурного нуля известно у культур Вавилон и Майя.

Как отдельная наука, изучающая чистые, формальные свойства натуральных чисел, Теория чисел, или высшая арифметика, основополагается в работах математика-любителя Пьера де Ферма.^{[источник?]}

Термин «натуральные числа» («natural numbers» на английском) происходит от латинского слова «naturales», что можно перевести как «по природе» или «естественные». Натуральные числа называются так из-за того, что они являются самыми естественными и базовыми числами, которые люди начали использовать для подсчета и измерения вещей в повседневной жизни.^{[источник?]}

Операции

Натуральные числа целиком охвачены арифметикой, так как можно:

• их складывать и перемножать любым образом,
• вычитать меньшее число из большего,
• делить число на любой из образующих его множителей.

По сложению натуральные числа образуют коммутативную полугруппу: любые два натуральных числа можно сложить, и сложение коммутативно и ассоциативно:

$a+b=b+a$ (коммутативность или перестановочное свойство: от перемены мест слагаемых сумма не меняется)

$(a+b)+c=a+(b+c)$ (ассоциативность)

Умножение натуральных чисел также коммутативно и ассоциативно:

$a\cdot b=b\cdot a$

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Умножение дистрибутивно по сложению:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Натуральные числа — множество вполне упорядоченное: в любом подмножестве будет минимальный элемент. Это словно «отражение» правила индукции, принцип метода бесконечного спуска.

Если из большего числа «отсчитать обратно по единице», «вычесть», меньшее, то получится другое меньшее, а $a-b=b,a>b\iff a=2b$. Уже́ у целых чисел такое определение нарушается ровно в «другой половине случаев», когда вычитается отрицательное, выдавая число, большее первого.

Каждое натуральное число >1 обладает единственным с точностью до порядка сомножителей разложением (факторизацией) на простые множители. Это Основная теорема арифметики.

Расширение до целых чисел и дальше

Если к натуральным числам добавить ноль и отрицательные числа (обратные натуральным по сложению), то в совокупности получится расширение понятия числа до кольца целых чисел $\mathbb {Z}$, которое наиболее четко являет основу теории чисел. Отрицательные числа можно мыслить, как получаемые от обратного счёта — последовательного убавления по единице — которое вводит ряд отрицательных чисел. Из тех каждое сложением обнуляет противоположное ему натуральное: $n+(-n)=0$.

Если рассматривать отношения целых чисел — дроби — то получится поле рациональных чисел $\mathbb {Q}$. Пополнение этого поля по стандартной метрике (расстояние между числами равно модулю их разности) будет представлять собой поле действительных чисел $\mathbb {R}$, представимое как допустимо бесконечные и апериодичные цепные дроби. Алгебраическое замыкание поля действительных чисел образует поле комплексных чисел $\mathbb {C}$ (его можно представлять как поле действительных чисел, к которому добавлена мнимая единица $i$: $i^{2}=-1$.

Литература

• Бухштаб А. А. Теория чисел — М.: «Просвещение», 1966.
• К. Айерленд, М. Роузен, Классическое введение в современную теорию чисел — М., 1987.

Числовые системы ↑ [+]
Счётные множества	Натуральные числа ($\scriptstyle \mathbb {N}$) • Целые ($\scriptstyle \mathbb {Z}$) • Рациональные ($\scriptstyle \mathbb {Q}$) • Алгебраические ($\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$) • Периоды • Вычислимые
Действительные числа и их расширения	Действительные (вещественные) ($\scriptstyle \mathbb {R}$) • Комплексные ($\scriptstyle \mathbb {C}$) • Кватернионы ($\scriptstyle \mathbb {H}$) • Числа Кэли (октавы, октонионы) ($\scriptstyle \mathbb {O}$) • Седенионы ($\scriptstyle \mathbb {S}$) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные
Прочие числовые системы	Кардинальные числа • Порядковые (трансфинитные, ординалы) • p-адические • Сверхнатуральные • Сюрреальные
Иные классы чисел	Двойные • Иррациональные • Трансцендентные • Числовой луч • Положительные числа • Простые числа • Бикватернионы • Координатизация • Расширение понятия числа