Возведение в степень
Возведение в степень — операция, которая представляет собой повторное умножение числа самого на себя.
В первичном смысле представляет собой обобщение умножения.
Умножаемое число называется основанием степени, а количество множителей, участвующих в операции, — показателем степени.
Натуральный показатель[править]
a в степени натурального z является самой очевидной и определяется просто как
Для степени верны свойства:
Целый показатель[править]
a в степени неположительного целого z представляет собой обобщение при помощи переложения свойства вычитания оснований на более широкий класс. Именно таким образом получаются следующие определения:
где z — отрицательное целое. При этом, что касается 00, данному математическому объекту можно даже посвятить отдельную статью.
Вещественное возведение[править]
При расширении понятия показателя степени целесообразно выделять два случая — когда основание и показатель вещественны и когда они в общем случае комплексны.
Рациональный показатель[править]
При обобщении на рациональный показатель происходит обобщение свойства умножения показателей. Таким образом положительное число a в степени m/n, где m, n — целые, определяется как
поскольку, возведя обе части равенства в степень n, мы получаем:
- .
- Если основание окажется отрицательным
Во многих источниках[1][2][3] рациональную степень от отрицательного основания называют неопределённой. В некоторых ресурсах[4] это обосновывают тем, что не для всех рациональных чисел таковое может быть определено. Например, выражение
не имеет смысла в отрицательных числах. Однако, по мнению ютубера Бориса Трушина, причина оказывается более глубокой, чем кажется: дело в том, что если относиться к рациональному показателю как с целостному объекту, не членить его на m и n так, как будто на самом деле они принципиально обособленны друг от друга, и, таким образом, определение показательной функции не должно меняться от того, возьмём ли мы в качестве дроби m/n выражения вида 2m/(2n), 3m/(3n), −4m/(−4n) и так далее. И в этом есть серьёзная проблема, которая начинается, если брать отрицательное основание:
Правда, при такой трактовке отрицательное основание будет запрещено, даже если показатель целый. Можно считать, что данное определение пригодно только для нецелых рациональных показателей.
Вещественный показатель[править]
Для введения такого понятия используется понятие предела. Предел берётся от выражения
где zn «пробегает» бесконечную последовательность рациональных чисел, которые на бесконечности стремятся к требуемому вещественному. Чтобы гарантировать, что предел не расходится (то есть не стремится к бесконечности и не «болтается» вокруг какого-то значения, к которому в конечном счёте так и не сможет прийти), можно потребовать, чтобы последовательность из zn была монотонной. Тогда по свойствам экспонента тоже будет идти монотонно. Тогда по теореме Вейерштрасса, если последовательность монотонна, но ограниченна какой-то гранью (снизу или сверху — в зависимости от характера монотонности), то она точно сходится.
Например,
можно понимать как предел последовательности двоичных экспонент от следующих цепных дробей:
Последовательность данных цепных дробей строго убывает и при этом ограничена, например, числом 2. Значит, число
существует.
Комплексное возведение[править]
Рациональный показатель[править]
Комплексное число a в степени m/n, где m, n — целые, определяется так же:
Правда, в некоторых источниках[5] оговариваются, что нужно делать допущение, что это определение корректно только при взаимной простоте чисел m и n. Если же освободиться от последнего условия, то придётся переопределить функцию как
Вся проблема в том, что комплексный корень n-й степени |n|-значен, а так как мы хотим относиться к рациональному показателю как с целостному объекту, то первое определение даст свои «роковые плоды», если в качестве дроби m/n рассматривать выражения вида 2m/(2n), 3m/(3n), −4m/(−4n) и так далее.
Комплексный показатель[править]
По причине вышеизложенного обобщать многозначное возведение в рациональную степень в возведение в вещественную степень через пределы бессмысленно — оно окажется бесконечнозначным (!). Таким образом, затруднено и корректное определение возведения в комплексную степень.
По этой причине традиционно под комплексной экспонентой на самом деле понимают лишь её главную ветвь, с которой в комплексном анализе обычно и имеют дело. Для того, чтобы к этому определению прийти, заметим, что при целых z для числа Эйлера верна теорема:
При обобщении этого равенство на любой комплексный показатель получается определение главной ветви натуральной экспоненты[6]. Можно показать, что этот предел существует и что данная функция действительно всегда является экспонентой.
Для любого комплексного основания a возведение в степень комплексного z, с помощью обобщения свойства умножения показателей, определяется как:
где loge, или ln, — натуральный логарифм, который[Прим. 1] оказывается многозначной функцией. Например,
При этом для целого показателя данное определение будет давать ровно единственное значение, которое ровно совпадает с данным выше:
См. также[править]
- Возведение в комплексную степень комплексного числа
- Возведение в степень комплексного числа
- Возведение комплексного числа в степень натурального числа
Примечания[править]
- ↑ как можно показать через формулу Эйлера
Источники[править]
- ↑ https://www.yaklass.ru/p/algebra/11-klass/logarifmy-pokazatelnaia-i-logarifmicheskaia-funktcii-9160/svoistva-pokazatelnoi-funktcii-i-ee-grafik-10424/re-6f81546a-1197-4b52-b336-61735603da83
- ↑ https://skysmart.ru/articles/mathematic/pokazatelnye-uravneniya
- ↑ https://lc.rt.ru/classbook/matematika-11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii-profilnyi-uroven/5298
- ↑ https://videouroki.net/video/7-pokazatiel-naia-funktsiia-ieie-svoistva-i-ghrafik.html
- ↑ https://math.vsu.ru/pdf/BliznyakovNM_Compl.pdf
- ↑ https://math.vsu.ru/pdf/BliznyakovNM_Compl.pdf
- ↑ https://math.vsu.ru/pdf/BliznyakovNM_Compl.pdf Страница 32