Предел (математика)
Предел — математический термин, обозначающий некое предельное число, к которому стремится бесконечная последовательность или функция.
Соответственно, различают предел последовательности и предел функции (в точке, «на бесконечности»).
Считается также, что предел может быть равен «бесконечности».
Бывает стремление одного предмета к другому, например птица стремится к гнезду. Отсюда проистекает интуитивное понятие стремления последовательности или функции к чему-то, в рамках математического анализа это понятие стремления находит свою формализацию в математических определениях предела функции и предела последовательности.
Предел последовательности[править]
Пределом числовой последовательности {xn} называется число A, в ε-окрестность которого попадают все члены последовательности с номером больше номера N(ε).
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\ \exists N(\varepsilon)\in\mathbb{N}\text{ такое, что }\forall n>N(\varepsilon)\Rightarrow\left|x_n-A\right|<\varepsilon}
Предел функции[править]
- Пределом функции f{x} в точке a называется число A, в ε-окрестность которого попадают все значения функции в точках из δ-окрестности точки a.
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\ \exists\delta(\varepsilon)>0\text{ такое, что }\forall x\in\mathbb{R},\ \left|x-a\right|<\delta\Rightarrow\left|f(x)-A\right|<\varepsilon}
Замечательные пределы[править]
- первый замечательный предел: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x\to\ 0}\frac{\sin\ x}{x}=1} .
- второй замечательный предел: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e} .
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x\to\ +0}{x}^{x}=1} .
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{x\to\ +0}{x}^{a}\ln\ x=0,a>0} .
Другие пределы:[править]
Литература[править]
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.