Предел (математика)

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
← другие значения
Пределы. Введение // KhanAcademyRussian [11:45]

Предел — математический термин, обозначающий некое предельное число, к которому стремится бесконечная последовательность или функция.

Соответственно, различают предел последовательности и предел функции (в точке, «на бесконечности»).

Считается также, что предел может быть равен «бесконечности».

Бывает стремление одного предмета к другому, например птица стремится к гнезду. Отсюда проистекает интуитивное понятие стремления последовательности или функции к чему-то, в рамках математического анализа это понятие стремления находит свою формализацию в математических определениях предела функции и предела последовательности.

Предел последовательности[править]

Пределом числовой последовательности {xn} называется число A, в ε-окрестность которого попадают все члены последовательности с номером больше номера N(ε).

Виды пределов[править]

Свойства пределов[править]

Для последовательностей {xn} и {yn} верны правила:

При xn и yn = C получаем:

При xn = C и yn получаем:

Предел функции[править]

Пределом функции f{x} в точке a называется число A, в ε-окрестность которого попадают все значения функции в точках из δ-окрестности точки a.

Виды пределов[править]

x → a, f(x) → A:

x → a, f(x) → ±∞:

x → ±∞, f(x) → A:

x → ±∞, f(x) → ±∞:

Свойства пределов[править]

Для функций u = f(x) и v = g(x) верны правила:

При использовании данных равенств преобразование слева направо справедливо тогда и только тогда, когда справа оба предела существуют.

При f(x) = u и g(x) = C получаем:

При f(x) = C и g(x) = v получаем:

Замечательные пределы[править]

Приёмы нахождения пределов[править]

Литература[править]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.

Другие понятия[править]