Предел (математика)

← другие значения

Пределы. Введение // KhanAcademyRussian [11:45]

Предел — математический термин, обозначающий некое предельное число, к которому стремится бесконечная последовательность или функция.

Соответственно, различают предел последовательности и предел функции (в точке, «на бесконечности»).

Считается также, что предел может быть равен «бесконечности».

Бывает стремление одного предмета к другому, например птица стремится к гнезду. Отсюда проистекает интуитивное понятие стремления последовательности или функции к чему-то, в рамках математического анализа это понятие стремления находит свою формализацию в математических определениях предела функции и предела последовательности.

Предел последовательности

Пределом числовой последовательности {x_n} называется число A, в ε-окрестность которого попадают все члены последовательности с номером больше номера N(ε).

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} {\text{ такое, что }}\forall n>N(\varepsilon )\Rightarrow \left|x_{n}-A\right|<\varepsilon$

Предел функции

• Пределом функции f{x} в точке a называется число A, в ε-окрестность которого попадают все значения функции в точках из δ-окрестности точки a.

$\lim \limits _{x\rightarrow a}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ такое, что }}\forall x\in \mathbb {R} ,\ \left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-A\right|<\varepsilon$

Замечательные пределы

первый замечательный предел: $\lim _{x\to \ 0}{\frac {\sin \ x}{x}}=1$ .

второй замечательный предел: $\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$ .

$\lim _{x\to \ +0}{x}^{x}=1$ .

$\lim _{x\to \ +0}{x}^{a}\ln \ x=0,a>0$ .

Другие пределы:

1. предел последовательности;
2. предел функции;
3. первый замечательный предел;
4. второй замечательный предел;
5. пределы дробно-рациональных функций;
6. пределы функций с корнями.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.