Предел (математика)

← другие значения

Пределы. Введение // KhanAcademyRussian [11:45]

Предел — математический термин, обозначающий некое предельное число, к которому стремится бесконечная последовательность или функция.

Соответственно, различают предел последовательности и предел функции (в точке, «на бесконечности»).

Считается также, что предел может быть равен «бесконечности».

Бывает стремление одного предмета к другому, например птица стремится к гнезду. Отсюда проистекает интуитивное понятие стремления последовательности или функции к чему-то, в рамках математического анализа это понятие стремления находит свою формализацию в математических определениях предела функции и предела последовательности.

Предел последовательности

Пределом числовой последовательности {x_n} называется число A, в ε-окрестность которого попадают все члены последовательности с номером больше номера N(ε).

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} {\text{ такое, что }}\forall n>N(\varepsilon )\Rightarrow \left|x_{n}-A\right|<\varepsilon$

Виды пределов

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} {\text{ т.ч. }}\forall n>N\Rightarrow \left|x_{n}-A\right|<\varepsilon$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} {\text{ т.ч. }}\forall n>N\Rightarrow \left|x_{n}\right|<\varepsilon$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} {\text{ т.ч. }}\forall n>N\Rightarrow x_{n}>\varepsilon$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in \mathbb {N} {\text{ т.ч. }}\forall n>N\Rightarrow -x_{n}>\varepsilon$

Свойства пределов

Для последовательностей {x_n} и {y_n} верны правила:

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }(x_{n}+y_{n})=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}+\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }(x_{n}-y_{n})=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}-\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }(x_{n}\cdot y_{n})=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}}{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}}}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left({x_{n}}^{y_{n}}\right)={\left(\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}^{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}}$

При x_n и y_n = C получаем:

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }(x_{n}+C)=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}+C$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }(x_{n}-C)=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}-C$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }(x_{n}\cdot C)=C\cdot \lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {x_{n}}{C}}={\frac {1}{C}}\cdot \lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left({x_{n}}^{C}\right)={\left(\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}^{C}$

При x_n = C и y_n получаем:

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }(C+y_{n})=C+\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }(C-y_{n})=C-\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }(C\cdot y_{n})=C\cdot \lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {C}{y_{n}}}={\frac {C}{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}}}$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left(C^{y_{n}}\right)=C^{\lim \limits _{n\rightarrow \infty }y_{n}}$

Предел функции

Пределом функции f{x} в точке a называется число A, в ε-окрестность которого попадают все значения функции в точках из δ-окрестности точки a.

$\lim \limits _{x\rightarrow a}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ такое, что }}\forall x\in \mathbb {R} ,\ \left|x-a\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-A\right|<\varepsilon$

Виды пределов

$\lim _{x\to a}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$

$\lim _{x\to a}f(x)=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon$

$\lim _{x\to a}f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to a}f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x-a|<\delta \Rightarrow -f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to 0}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$

$\lim _{x\to 0}f(x)=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x|<\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon$

$\lim _{x\to 0}f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x|<\delta \Rightarrow f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to 0}f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x|<\delta \Rightarrow -f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to \infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ x>\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$

$\lim _{x\to \infty }f(x)=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ x>\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon$

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ x>\delta \Rightarrow f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ x>\delta \Rightarrow -f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ -x>\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ -x>\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ -x>\delta \Rightarrow f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ -x>\delta \Rightarrow -f(x)>\varepsilon$

Свойства пределов

Для функций u = f(x) и v = g(x) верны правила:

• $\lim _{x\to a}(u\pm v)=\lim _{x\to a}u\pm \lim _{x\to a}v$
• $\lim _{x\to a}(u\cdot v)=\lim _{x\to a}u\cdot \lim _{x\to a}v$
• $\lim _{x\to a}{\frac {u}{v}}={\frac {\lim _{x\to a}u}{\lim _{x\to a}v}}$
• $\lim _{x\to a}u^{v}=\left(\lim _{x\to a}u\right)^{{\underset {x\to a}{\lim }}v}$

При использовании данных равенств преобразование слева направо справедливо тогда и только тогда, когда справа оба предела существуют.

При f(x) = u и g(x) = C получаем:

• $\lim _{x\to a}(u\pm C)=\lim _{x\to a}u\pm C$
• $\lim _{x\to a}(u\cdot C)=C\lim _{x\to a}u$
• $\lim _{x\to a}{\frac {u}{C}}={\frac {1}{C}}\lim _{x\to a}u$
• $\lim _{x\to a}u^{C}=\left(\lim _{x\to a}u\right)^{C}$

При f(x) = C и g(x) = v получаем:

• $\lim _{x\to a}(C\pm v)=C\pm \lim _{x\to a}v$
• $\lim _{x\to a}(C\cdot v)=C\lim _{x\to a}v$
• $\lim _{x\to a}{\frac {C}{v}}={\frac {C}{\lim _{x\to a}v}}$
• $\lim _{x\to a}C^{v}=C^{{\underset {x\to a}{\lim }}v}$

Замечательные пределы

• первый замечательный предел: $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.$
• второй замечательный предел: $\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.$

Приёмы нахождения пределов

• пределы дробно-рациональных функций;
• пределы функций с корнями;
• пределы с использованием 2ЗП.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.

Другие понятия

• число;
• формулы;
• неравенства;
• погрешность;
• предел;
• производная;
• дифференциал;
• последовательность;
• ряд;
• признак сходимости;
• интеграл;
• преобразование;
• экстремум;
• вектор;
• матрица;
• функции;
• уравнения;
• дифференциальные уравнения.