Производная

Математика - Производная // Skill up

Телекинокурс. Высшая математика. Лекции 25-26. Дифференциал. Фильм 02 (1973) [1:05:18]

Производная — математический термин, обозначающий некую функцию, соответствующую скорости изменения функции.

Нахождение производной от функции называется дифференцированием.

Определения

1. Определение производной через понятие дифференциала.

Производная от функции y = f(x) равна отношению дифференциалов функции и аргумента.

$y'(x)={\frac {dy}{dx}}$

2. Определение производной от функции через понятие предела.

Производная от функции y = f(x) равна пределу отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx, когда приращение аргумента стремится к нулю Δx → 0.

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\Leftrightarrow y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}}}

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}\Leftrightarrow f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}

Производные элементарных функций — это производные (табличные) от элементарных функций.

Производные сложных функций — это производные от функций, состоящих из внешней функции и внутренней функции (функция от функции).

Виды производных:

1. производная;
2. производные элементарных функций;
3. производные тригонометрических функций;
4. производные обратных тригонометрических функций;
5. производные гиперболических функций;
6. производные обратных гиперболических функций;
7. производные сложных функций.

Свойства производных

Для функций u=f(x) и v=g(x) верны правила:

При f(x) и g(x)=C получаем:

При f(x)=C и g(x) получаем:

Формулы сложных функций

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \left[f(g(x))\right]'_{x}=f'_{g}(g(x))\cdot g'_{x}(x)\Leftrightarrow \left[u(v)\right]'_{x}=u'_{v}\cdot v'_{x}}

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle \left[f(x)^{g(x)})\right]'_{x}=f(x)^{g(x)}\cdot \left[f'_{x}(x)\cdot {\frac {g(x)}{f(x)}}+g'_{x}(x)\cdot \ln f(x)\right]\Leftrightarrow \left[u^{v}\right]'_{x}=u^{v}\cdot \left(u'_{x}{\frac {v}{u}}+v'_{x}\ln u\right)}

Другие понятия

1. число;
2. формулы;
3. неравенства;
4. погрешность;
5. предел;
6. производная;
7. дифференциал;
8. последовательность;
9. суммы;
10. ряд;
11. признак сходимости;
12. интеграл;
13. преобразование;
14. экстремум;
15. вектор;
16. матрица;
17. функции;
18. уравнения;
19. дифференциальные уравнения;
20. теоремы.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.