Производная сложной функции

Производная сложной функции // Valery Volkov [25:17]

Производные сложных функций — это производные от функций, состоящих из внешней функции и внутренней функции (функция от функции).

Формулы

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left[f(g(x))\right]'_x = f'_g(g(x)) \cdot g'_x(x) \Leftrightarrow \left[u(v)\right]'_x=u'_v \cdot v'_x}

Функцию f(x)^g(x) можно продифференцировать как сложную функцию, воспользовавшись тождеством: f(x)^g(x)=e^g(x)Ln(f(x)), что в итоге дает:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left[f(x)^{g(x)})\right]'_x = f(x)^{g(x)} \cdot \left[f'_x(x)\cdot\frac{g(x)}{f(x)}+g'_x(x) \cdot \ln f(x)\right] \Leftrightarrow \left[u^v\right]'_x=u^v\cdot \left(u'_x\frac{v}{u}+v'_x\ln u\right)}

См. также

• Дифференциалы сложных функций

Другие производные:

1. производная;
2. производные элементарных функций;
3. производные тригонометрических функций;
4. производные обратных тригонометрических функций;
5. производные гиперболических функций;
6. производные обратных гиперболических функций;
7. производные сложных функций.