Дифференциал (математика)

← другие значения

Телекинокурс. Высшая математика. Лекции 25-26. Дифференциал. Фильм 02 (1973) [1:05:18]

Дифференциал — математический термин, исторически имеющий два значения, которые в некотором отношении являются тесно связанными друг с другом:

• бесконечно малое приращение,
• линейная часть приращения — линейная по отношению к приращению независимой переменной.

В первом значении, ещё на заре математического анализа, этот термин употреблял Лейбниц, считая, что числовая ось независимой переменной разбивается на бесконечно малые части — монады, которые представляют собой элементарные отрезки.

К современности же понятие дифференциала переосмыслилось благодаря введению более строгого, более «честного» определения предела, данного Огюстеном Коши, перестав пониматься как бесконечно малая величина, которая Лейбницом принималась в порядке аксиомы, и начав восприниматься просто как линейная компонента приращения, не обязательно уже бесконечно малая. Именно это определение к настоящему времени стало классическим определением дифференциала в том числе в вузах.

Определения

Бесконечно малая величина

В матанализе инфинитезималей дифференциал df(x) функции f(x) отождествляется с приращением Δf(x) функции f(x), который просто является бесконечно малым. То есть де-факто определение (используя современную нотацию) получается следующим:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{d}f(x) = f'(x)\text{d}x + o(\text{d}x),}

где o(dx) — это «o малое» от dx, то есть некая функция, бесконечно малая по отношению к dx. Однако в матанализе монадов постулируется, что «o малым» можно просто пренебречь:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{d}f(x) = f'(x)\text{d}x.}

Например, в книге Лопиталя говорится, что дифференциал произведения xy есть

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (xy + \text{d}x \times y + x\text{ d}y + \text{d}x\text{ d}y) - xy = \text{d}x \times y + x\text {d}y + \text{d}x\text{ d}y,}

но dx dy и есть то самое «o малое», которое имеет нулевой вес в данном выражении, а значит,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{d}(xy) = \text{d}x \times y + x\text{ d}y.}

Современное определение

Поныне под дифференциалом функции точно так же, как и в инфинитезимальном определении, понимается произведение производной функции на дифференциал аргумента:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dy=y'(x)dx}

с той лишь разницей, что dx и dy воспринимаются уже не как бесконечно малые величины, а значит, «вмешательство» «o малого» в данное определение уже принципиально бы изменило картину. Дифференциал в точке x₀ можно рассматривать как линейную функцию от dx, аппроксимирующую приращение функции f(x) в точке x₀ (при малом приращении аргумента dx = x − x₀, приращение функции Δf(x) = f(x) − f(x₀) будет приблизительно равно ее дифференциалу dy = f'(x₀)dx).

Нахождение дифференциала функции называется дифференцированием, так как требует нахождения производной.

Другие определения

Дифференциалы элементарных функций — это дифференциалы (табличные) от элементарных функций.

Дифференциалы сложных функций — это дифференциалы от функций, состоящих из внешней функции и внутренней функции (функция от функции).

Виды дифференциалов:

1. дифференциал;
2. дифференциалы элементарных функций;
3. дифференциалы тригонометрических функций;
4. дифференциалы обратных тригонометрических функций;
5. дифференциалы гиперболических функций;
6. дифференциалы обратных гиперболических функций;
7. дифференциалы сложных функций.

Свойства дифференциалов

Для функций u = f(x) и v = g(x) верны правила:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d[f(x)+g(x)]=df(x)+dg(x) \qquad \qquad \qquad \ d[u+v]=du+dv}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d[f(x)-g(x)]=df(x)-dg(x) \qquad \qquad \qquad \ d[u-v]=du-dv}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d[f(x)\cdot g(x)]=df(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot dg(x) \Leftrightarrow \ d[uv]=du\cdot v+u\cdot dv}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{df(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot dg(x)}{g^2(x)} \qquad \ \ d\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{du\cdot v-u\cdot dv}{v^2}}

При f(x) и g(x) = C получаем:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d[f(x)+C]=df(x) \qquad \ \ d[u+C]=du}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d[f(x)-C]=df(x) \qquad \ \ d[u-C]=du}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d[f(x)\cdot C]=C\cdot df(x) \Leftrightarrow \ d[u\cdot C]=C\cdot du}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d\left[\frac{f(x)}{C}\right]=\frac{1}{C}\cdot df(x) \qquad d\left[\frac{u}{C}\right]=\frac{1}{C}\cdot du}

При f(x) = C и g(x) получаем:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d[C+g(x)]=dg(x) \qquad \ \ d[C+v]=dv}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d[C-g(x)]=dg(x) \qquad \ \ d[C-v]=-dv}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d[C\cdot g(x)]=C\cdot dg(x) \Leftrightarrow \ d[C\cdot v]=C\cdot dv}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d\left[\frac{C}{g(x)}\right]=-\frac{C\cdot dg(x)}{g^2(x)} \ \ \ \ d\left[\frac{C}{v}\right]=-\frac{C\cdot dv}{v^2}}

Формулы дифференциалов сложных функций

Смысл

 → Смысл дифференциалов

Смысл дифференциалов — объяснение того, как можно охватить весь «смысл дифференциалов» и почему они играют большую роль в математическом анализе.

Другие понятия

1. число;
2. формулы;
3. неравенства;
4. погрешность;
5. предел;
6. производная;
7. дифференциал;
8. последовательность;
9. суммы;
10. ряд;
11. признак сходимости;
12. интеграл;
13. преобразование;
14. экстремум;
15. вектор;
16. матрица;
17. функции;
18. уравнения;
19. дифференциальные уравнения;
20. теоремы.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.

Ссылки

• Участник:Logic-samara