Дифференциал (математика)

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Дифференциал — математический термин, исторически имеющий два значения, которые в некотором отношении являются тесно связанными друг с другом:

  • бесконечно малое приращение,
  • линейная часть приращения — линейная по отношению к приращению независимой переменной.

В первом значении, ещё на заре математического анализа, этот термин употреблял Лейбниц, считая, что числовая ось независимой переменной разбивается на бесконечно малые части — монады, которые представляют собой элементарные отрезки[1].

К современности же понятие дифференциала переосмыслилось благодаря введению более строгого, более «честного» определения предела, данного Огюстеном Коши, перестав пониматься как бесконечно малая величина, которая Лейбницом принималась в порядке аксиомы, и начав восприниматься просто как линейная компонента приращения, не обязательно уже бесконечно малая.[1] Именно это определение к настоящему времени стало классическим определением дифференциала в том числе в вузах.

Дифференциал функции[править]

Бесконечно малая величина[править]

В матанализе инфинитезималей дифференциал df(x) функции f(x) отождествляется с приращением Δf(x) функции f(x), который просто является бесконечно малым. То есть де-факто определение (используя современную нотацию) получается следующим:

[math]\displaystyle{ \text{d}f(x) = f'(x)\text{d}x + o(\text{d}x), }[/math]

где o(dx) — это «o малое» от dx, то есть некая функция, бесконечно малая по отношению к dx. Однако в матанализе монадов постулируется, что «o малым» можно просто пренебречь:

[math]\displaystyle{ \text{d}f(x) = f'(x)\text{d}x. }[/math]

Например, в книге Лопиталя[2] говорится, что дифференциал произведения xy есть

[math]\displaystyle{ (xy + \text{d}x \times y + x\text{ d}y + \text{d}x\text{ d}y) - xy = \text{d}x \times y + x\text {d}y + \text{d}x\text{ d}y, }[/math]

но dx dy и есть то самое «o малое», которое имеет нулевой вес в данном выражении, а значит,

[math]\displaystyle{ \text{d}(xy) = \text{d}x \times y + x\text{ d}y. }[/math]

Современное определение[править]

Поныне под дифференциалом функции точно так же, как и в инфинитезимальном определении, понимается произведение производной функции на дифференциал аргумента:

[math]\displaystyle{ dy=y'(x)dx }[/math]

с той лишь разницей, что dx и dy воспринимаются уже не как бесконечно малые величины, а значит, «вмешательство» «o малого» в данное определение уже принципиально бы изменило картину. Дифференциал в точке x0 можно рассматривать как линейную функцию от dx, аппроксимирующую приращение функции f(x) в точке x0 (при малом приращении аргумента dx = x − x0, приращение функции Δf(x) = f(x) − f(x0) будет приблизительно равно ее дифференциалу dy = f'(x0)dx).

Нахождение дифференциала функции называется дифференцированием, так как требует нахождения производной.

Свойства дифференциалов[править]

Для функций u = f(x) и v = g(x) верны правила:

[math]\displaystyle{ d[f(x)+g(x)]=df(x)+dg(x) \qquad \qquad \qquad \ d[u+v]=du+dv }[/math]
[math]\displaystyle{ d[f(x)-g(x)]=df(x)-dg(x) \qquad \qquad \qquad \ d[u-v]=du-dv }[/math]
[math]\displaystyle{ d[f(x)\cdot g(x)]=df(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot dg(x) \Leftrightarrow \ d[uv]=du\cdot v+u\cdot dv }[/math]
[math]\displaystyle{ d\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{df(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot dg(x)}{g^2(x)} \qquad \ \ d\left[\frac{u}{v}\right]=\frac{du\cdot v-u\cdot dv}{v^2} }[/math]

При f(x) и g(x) = C получаем:

[math]\displaystyle{ d[f(x)+C]=df(x) \qquad \ \ d[u+C]=du }[/math]
[math]\displaystyle{ d[f(x)-C]=df(x) \qquad \ \ d[u-C]=du }[/math]
[math]\displaystyle{ d[f(x)\cdot C]=C\cdot df(x) \Leftrightarrow \ d[u\cdot C]=C\cdot du }[/math]
[math]\displaystyle{ d\left[\frac{f(x)}{C}\right]=\frac{1}{C}\cdot df(x) \qquad d\left[\frac{u}{C}\right]=\frac{1}{C}\cdot du }[/math]

При f(x) = C и g(x) получаем:

[math]\displaystyle{ d[C+g(x)]=dg(x) \qquad \ \ d[C+v]=dv }[/math]
[math]\displaystyle{ d[C-g(x)]=dg(x) \qquad \ \ d[C-v]=-dv }[/math]
[math]\displaystyle{ d[C\cdot g(x)]=C\cdot dg(x) \Leftrightarrow \ d[C\cdot v]=C\cdot dv }[/math]
[math]\displaystyle{ d\left[\frac{C}{g(x)}\right]=-\frac{C\cdot dg(x)}{g^2(x)} \ \ \ \ d\left[\frac{C}{v}\right]=-\frac{C\cdot dv}{v^2} }[/math]

Виды дифференциалов[править]

Дифференциалы элементарных функций — это дифференциалы (табличные) от элементарных функций.

Дифференциалы сложных функций — это дифференциалы от функций, состоящих из внешней функции и внутренней функции (функция от функции).

Формулы дифференциалов сложных функций

ДИФ04.JPG

Смысл дифференциалов[править]

 → Смысл дифференциалов

Другие понятия[править]

Примечания[править]

  1. 1,0 1,1 Работа Щепина Евгения Витальевича
  2. https://rusneb.ru/catalog/000199_000009_005289961, страница 65

Ссылки[править]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.