Дифференциал (математика)

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
← другие значения
Телекинокурс. Высшая математика. Лекции 25-26. Дифференциал. Фильм 02 (1973) [1:05:18]

Дифференциал — математический термин, исторически имеющий два значения, которые в некотором отношении являются тесно связанными друг с другом:

  • бесконечно малое приращение,
  • линейная часть приращения — линейная по отношению к приращению независимой переменной.

В первом значении, ещё на заре математического анализа, этот термин употреблял Лейбниц, считая, что числовая ось независимой переменной разбивается на бесконечно малые части — монады, которые представляют собой элементарные отрезки[1].

К современности же понятие дифференциала переосмыслилось благодаря введению более строгого, более «честного» определения предела, данного Огюстеном Коши, перестав пониматься как бесконечно малая величина, которая Лейбницом принималась в порядке аксиомы, и начав восприниматься просто как линейная компонента приращения, не обязательно уже бесконечно малая.[1] Именно это определение к настоящему времени стало классическим определением дифференциала в том числе в вузах.

Дифференциал функции[править]

Бесконечно малая величина[править]

В матанализе инфинитезималей дифференциал df(x) функции f(x) отождествляется с приращением Δf(x) функции f(x), который просто является бесконечно малым. То есть де-факто определение (используя современную нотацию) получается следующим:

где o(dx) — это «o малое» от dx, то есть некая функция, бесконечно малая по отношению к dx. Однако в матанализе монадов постулируется, что «o малым» можно просто пренебречь:

Например, в книге Лопиталя[2] говорится, что дифференциал произведения xy есть

но dx dy и есть то самое «o малое», которое имеет нулевой вес в данном выражении, а значит,

Современное определение[править]

Поныне под дифференциалом функции точно так же, как и в инфинитезимальном определении, понимается произведение производной функции на дифференциал аргумента:

с той лишь разницей, что dx и dy воспринимаются уже не как бесконечно малые величины, а значит, «вмешательство» «o малого» в данное определение уже принципиально бы изменило картину. Дифференциал в точке x0 можно рассматривать как линейную функцию от dx, аппроксимирующую приращение функции f(x) в точке x0 (при малом приращении аргумента dx = x − x0, приращение функции Δf(x) = f(x) − f(x0) будет приблизительно равно ее дифференциалу dy = f'(x0)dx).

Нахождение дифференциала функции называется дифференцированием, так как требует нахождения производной.

Свойства дифференциалов[править]

Для функций u = f(x) и v = g(x) верны правила:

При f(x) и g(x) = C получаем:

При f(x) = C и g(x) получаем:

Виды дифференциалов[править]

Дифференциалы элементарных функций — это дифференциалы (табличные) от элементарных функций.

Дифференциалы сложных функций — это дифференциалы от функций, состоящих из внешней функции и внутренней функции (функция от функции).

Формулы дифференциалов сложных функций

ДИФ04.PNG

Смысл[править]

 → Смысл дифференциалов

Смысл дифференциалов — объяснение того, как можно охватить весь «смысл дифференциалов» и почему они играют большую роль в математическом анализе.

Другие понятия[править]


Источники[править]

  1. 1,0 1,1 Работа Щепина Евгения Витальевича
  2. https://rusneb.ru/catalog/000199_000009_005289961, страница 65

Литература[править]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.

Ссылки[править]