Дифференциал (математика)

← другие значения

Телекинокурс. Высшая математика. Лекции 25-26. Дифференциал. Фильм 02 (1973) [1:05:18]

Дифференциал — математический термин, исторически имеющий два значения, которые в некотором отношении являются тесно связанными друг с другом:

• бесконечно малое приращение,
• линейная часть приращения — линейная по отношению к приращению независимой переменной.

В первом значении, ещё на заре математического анализа, этот термин употреблял Лейбниц, считая, что числовая ось независимой переменной разбивается на бесконечно малые части — монады, которые представляют собой элементарные отрезки.

К современности же понятие дифференциала переосмыслилось благодаря введению более строгого, более «честного» определения предела, данного Огюстеном Коши, перестав пониматься как бесконечно малая величина, которая Лейбницом принималась в порядке аксиомы, и начав восприниматься просто как линейная компонента приращения, не обязательно уже бесконечно малая. Именно это определение к настоящему времени стало классическим определением дифференциала в том числе в вузах.

Определения

Бесконечно малая величина

В матанализе инфинитезималей дифференциал df(x) функции f(x) отождествляется с приращением Δf(x) функции f(x), который просто является бесконечно малым. То есть де-факто определение (используя современную нотацию) получается следующим:

${\text{d}}f(x)=f'(x){\text{d}}x+o({\text{d}}x),$

где o(dx) — это «o малое» от dx, то есть некая функция, бесконечно малая по отношению к dx. Однако в матанализе монадов постулируется, что «o малым» можно просто пренебречь:

${\text{d}}f(x)=f'(x){\text{d}}x.$

Например, в книге Лопиталя говорится, что дифференциал произведения xy есть

$(xy+{\text{d}}x\times y+x{\text{ d}}y+{\text{d}}x{\text{ d}}y)-xy={\text{d}}x\times y+x{\text{d}}y+{\text{d}}x{\text{ d}}y,$

но dx dy и есть то самое «o малое», которое имеет нулевой вес в данном выражении, а значит,

${\text{d}}(xy)={\text{d}}x\times y+x{\text{ d}}y.$

Современное определение

Поныне под дифференциалом функции точно так же, как и в инфинитезимальном определении, понимается произведение производной функции на дифференциал аргумента:

$dy=y'(x)dx$

с той лишь разницей, что dx и dy воспринимаются уже не как бесконечно малые величины, а значит, «вмешательство» «o малого» в данное определение уже принципиально бы изменило картину. Дифференциал в точке x₀ можно рассматривать как линейную функцию от dx, аппроксимирующую приращение функции f(x) в точке x₀ (при малом приращении аргумента dx = x − x₀, приращение функции Δf(x) = f(x) − f(x₀) будет приблизительно равно ее дифференциалу dy = f'(x₀)dx).

Нахождение дифференциала функции называется дифференцированием, так как требует нахождения производной.

Другие определения

Дифференциалы элементарных функций — это дифференциалы (табличные) от элементарных функций.

Дифференциалы сложных функций — это дифференциалы от функций, состоящих из внешней функции и внутренней функции (функция от функции).

Виды дифференциалов:

• дифференциал;
• дифференциалы элементарных функций;
• дифференциалы тригонометрических функций;
• дифференциалы обратных тригонометрических функций;
• дифференциалы гиперболических функций;
• дифференциалы обратных гиперболических функций;
• дифференциалы сложных функций.

Свойства дифференциалов

Для функций u = f(x) и v = g(x) верны правила:

$d[f(x)+g(x)]=df(x)+dg(x)\qquad \qquad \qquad \ d[u+v]=du+dv$

$d[f(x)-g(x)]=df(x)-dg(x)\qquad \qquad \qquad \ d[u-v]=du-dv$

$d[f(x)\cdot g(x)]=df(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot dg(x)\Leftrightarrow \ d[uv]=du\cdot v+u\cdot dv$

$d\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]={\frac {df(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot dg(x)}{g^{2}(x)}}\qquad \ \ d\left[{\frac {u}{v}}\right]={\frac {du\cdot v-u\cdot dv}{v^{2}}}$

При f(x) и g(x) = C получаем:

$d[f(x)+C]=df(x)\qquad \ \ d[u+C]=du$

$d[f(x)-C]=df(x)\qquad \ \ d[u-C]=du$

$d[f(x)\cdot C]=C\cdot df(x)\Leftrightarrow \ d[u\cdot C]=C\cdot du$

$d\left[{\frac {f(x)}{C}}\right]={\frac {1}{C}}\cdot df(x)\qquad d\left[{\frac {u}{C}}\right]={\frac {1}{C}}\cdot du$

При f(x) = C и g(x) получаем:

$d[C+g(x)]=dg(x)\qquad \ \ d[C+v]=dv$

$d[C-g(x)]=dg(x)\qquad \ \ d[C-v]=-dv$

$d[C\cdot g(x)]=C\cdot dg(x)\Leftrightarrow \ d[C\cdot v]=C\cdot dv$

$d\left[{\frac {C}{g(x)}}\right]=-{\frac {C\cdot dg(x)}{g^{2}(x)}}\ \ \ \ d\left[{\frac {C}{v}}\right]=-{\frac {C\cdot dv}{v^{2}}}$

Формулы дифференциалов сложных функций

Смысл

 → Смысл дифференциалов

Смысл дифференциалов — объяснение того, как можно охватить весь «смысл дифференциалов» и почему они играют большую роль в математическом анализе.

Другие понятия

• число;
• формулы;
• неравенства;
• погрешность;
• предел;
• производная;
• дифференциал;
• последовательность;
• ряд;
• признак сходимости;
• интеграл;
• преобразование;
• экстремум;
• вектор;
• матрица;
• функции;
• уравнения;
• дифференциальные уравнения.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.

Ссылки

• Участник:Logic-samara