Интеграл

Математика. Лекция 7. Неопределенный и определенный интегралы // Образование для всех [1:27:54]

Интеграл, в математике — непрерывная сумма произведений значений подынтегральной функции на дифференциал аргумента.

Интеграл от функции

Нахождение интеграла от функции называется интегрированием. При интегрировании подынтегральной функции находят первообразную функцию, производная от которой равна подынтегральной функции. Интеграл от функции может быть неопределённым, а может быть определённым.

Суть неопределённого интеграла это класс функций (первообразная плюс константа), отличающихся только константой, производная которых равна подынтегральной функции.

Суть определённого интеграла это некое число, равное непрерывной алгебраической сумме произведений значений подынтегральной функции на дифференциал аргумента.

Для положительных подынтегральных функций определённый интеграл равен величине площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и пределами интегрирования.

Неопределённый интеграл от функции

Интегралы №2 Неопределенный интеграл // Математикс [15:39]

Неопределённый интеграл от функции определяется по формуле:

∫f(x)dx = F(x) + C, где F'(x) = f(x)

f(x) — подынтегральная функция,

F(x) — первообразная функция.

C — константа.

Свойства неопределённых интегралов

Для функций u = f(x) и v = g(x) верны правила:

${\begin{cases}\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\\\int [f(x)-g(x)]dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\int (u+v)dx=\int udx+\int vdx\\\int (u-v)dx=\int udx-\int vdx\end{cases}}$

При f(x) и g(x) = C₁ получаем:

При f(x) = C₁ и g(x) получаем:

Интегрирование по частям

Для функций u = f(x) и v = g(x) верно правило:

${\begin{cases}\int [f(x)g'(x)]dx=f(x)\cdot g(x)-\int [f'(x)g(x)]dx\\\int f(x)dg(x)=f(x)\cdot g(x)-\int g(x)df(x)\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}\int (uv')dx=u\cdot v-\int (u'v)dx\\\int udv=u\cdot v-\int vdu\end{cases}}$

Примеры неопределённых интегралов

• интегралы элементарных функций;
• интегралы тригонометрических функций;
• интегралы функций с корнями;
• метод замены переменных.

Определённый интеграл от функции

Телекинокурс. Высшая математика. Лекции 55-56. Определенный интеграл. Часть 01 (1975) [1:09:56]

Телекинокурс. Высшая математика. Лекции 57-58. Определенный интеграл. Часть 02 (1976) [1:09:39]

Определённый интеграл от функции определяется по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\left.F(x)\right|_{a}^{b}$,

где производная $F'(x)=f(x)$

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

f(x) — подынтегральная функция,

F(x) — первообразная функция.

Примеры определённых интегралов

• интеграл Фурье;
• интеграл Фурье комплексный;
• интеграл Эйлера-Пуассона.
• Заметим, что любой определённый интеграл можно вычислить или оценить с помощью формул численного интегрирования.

См. также

• Вычисление площадей и объёмов
• Криволинейный интеграл

Другие понятия

• число;
• формулы;
• неравенства;
• погрешность;
• предел;
• производная;
• дифференциал;
• последовательность;
• ряд;
• признак сходимости;
• интеграл;
• преобразование;
• экстремум;
• вектор;
• матрица;
• функции;
• уравнения;
• дифференциальные уравнения.

Ссылки

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.
• Участник:Logic-samara