Численное интегрирование

1603. Численное интегрирование // kirianov [3:48]

Численное интегрирование — это способ вычисления определённого интеграла по приближенной формуле, являющейся суммой взвешенных значений функций.

Описание

Суть численного интегрирования состоит в расчёте значения определённого интеграла по взвешенным значениям подынтегральной функции, без использования первообразной функции.

Сила численного интегрирования состоит в возможности оценки значения определённого интеграла путём простых вычислений.

Формула

При численном интегрировании используется общая формула определённого интеграла $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=I_{n}+R_{n}$, где

$I_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}q_{i}f(x_{i})$ — квадратурная формула,

x_i — некоторые точки отрезка [a, b],

n — число отрезков на [a; b],

f(x_i) — значения подынтегральной функции в точках x_i,

q_i — весовые коэффициенты,

R_n — остаточный член.

Порядок точности формул

• m = 1 для формулы правых прямоугольников
• m = 1 для формулы левых прямоугольников
• m = 2 для формулы прямоугольников
• m = 2 для формулы трапеций
• m = 4 для формулы Симпсона
• m = 4 для формулы трёх восьмых

Правило Рунге

Для оценки точности расчёта интеграла I с помощью квадратурных формул (например, необходимо рассчитать значение интеграла с помощью квадратурной формулы для I_2n=I_h/2) на практике можно применять правило Рунге:

$\left|I-I_{2n}\right|<{\frac {\left|I_{2n}-I_{n}\right|}{2^{m}-1}}$ или $\left|I-I_{h/2}\right|<{\frac {\left|I_{h/2}-I_{h}\right|}{2^{m}-1}}$, где

I_n = I_h — значение квадратурной формулы при шаге h = (b − a)/n,

I_2n = I_h/2 — значение квадратурной формулы при шаге h/2 = (b − a)/(2n),

m — порядок точности квадратурной формулы.

Условие применения правила Рунге строго задаётся для чётного n следующим неравенством:

$2^{m}\left|{\frac {I_{n}-I_{2n}}{I_{n/2}-I_{n}}}-1\right|<0,1$ или $2^{m}\left|{\frac {I_{h}-I_{h/2}}{I_{2h}-I_{h}}}-1\right|<0,1$, где

I_n = I_h — значение квадратурной формулы при шаге h = (b − a)/n,

I_2n = I_h/2 — значение квадратурной формулы при шаге h/2 = (b − a)/(2n),

I_n/2 = I_2h — значение квадратурной формулы при шаге 2h = (b − a)/(n/2),

m — порядок точности квадратурной формулы.

Формула Ричардсона

Более точным (по крайней мере на порядок выше, то есть с порядком точности m + 1) значением интеграла I (по сравнению со значением I_2n = I_h/2) является значение I*, вычисленное или экстраполированное по формуле Ричардсона:

$I^{*}={\frac {2^{m}I_{2n}-I_{n}}{2^{m}-1}}$ или $I^{*}={\frac {2^{m}I_{h/2}-I_{h}}{2^{m}-1}}$, где

I_n = I_h — значение квадратурной формулы при шаге h = (b − a)/n,

I_2n = I_h/2 — значение квадратурной формулы при шаге h/2 = (b − a)/(2n),

m — порядок точности квадратурной формулы.

Виды формул:

• формула правых прямоугольников;
• формула левых прямоугольников;
• формула прямоугольников;
• формула трапеций;
• формула Симпсона;
• формула трёх восьмых.

Численные методы:

• решение уравнений;
• решение систем уравнений;
• ортогонализация;
• решение дифференциальных уравнений;
• аппроксимация;
• интерполяция;
• численное интегрирование;
• нахождение экстремумов.

Литература

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970