Численное интегрирование
Численное интегрирование — это способ вычисления определённого интеграла по приближенной формуле, являющейся суммой взвешенных значений функций.
Описание[править]
Суть численного интегрирования состоит в расчёте значения определённого интеграла по взвешенным значениям подынтегральной функции, без использования первообразной функции.
Сила численного интегрирования состоит в возможности оценки значения определённого интеграла путём простых вычислений.
Формула[править]
При численном интегрировании используется общая формула определённого интеграла , где
- — квадратурная формула,
- xi — некоторые точки отрезка [a, b],
- n — число отрезков на [a; b],
- f(xi) — значения подынтегральной функции в точках xi,
- qi — весовые коэффициенты,
- Rn — остаточный член.
Порядок точности формул[править]
- m = 1 для формулы правых прямоугольников
- m = 1 для формулы левых прямоугольников
- m = 2 для формулы прямоугольников
- m = 2 для формулы трапеций
- m = 4 для формулы Симпсона
- m = 4 для формулы трёх восьмых
Правило Рунге[править]
Для оценки точности расчёта интеграла I с помощью квадратурных формул (например, необходимо рассчитать значение интеграла с помощью квадратурной формулы для I2n=Ih/2) на практике можно применять правило Рунге:
- или , где
- In = Ih — значение квадратурной формулы при шаге h = (b − a)/n,
- I2n = Ih/2 — значение квадратурной формулы при шаге h/2 = (b − a)/(2n),
- m — порядок точности квадратурной формулы.
Условие применения правила Рунге строго задаётся для чётного n следующим неравенством:
- или , где
- In = Ih — значение квадратурной формулы при шаге h = (b − a)/n,
- I2n = Ih/2 — значение квадратурной формулы при шаге h/2 = (b − a)/(2n),
- In/2 = I2h — значение квадратурной формулы при шаге 2h = (b − a)/(n/2),
- m — порядок точности квадратурной формулы.
Формула Ричардсона[править]
Более точным (по крайней мере на порядок выше, то есть с порядком точности m + 1) значением интеграла I (по сравнению со значением I2n = Ih/2) является значение I*, вычисленное или экстраполированное по формуле Ричардсона:
- или , где
- In = Ih — значение квадратурной формулы при шаге h = (b − a)/n,
- I2n = Ih/2 — значение квадратурной формулы при шаге h/2 = (b − a)/(2n),
- m — порядок точности квадратурной формулы.
Виды формул:[править]
- формула правых прямоугольников;
- формула левых прямоугольников;
- формула прямоугольников;
- формула трапеций;
- формула Симпсона (формула парабол);
- формула трёх восьмых (формула кубических парабол).
Численные методы:[править]
- решение уравнений;
- решение систем уравнений;
- ортогонализация;
- решение дифференциальных уравнений;
- аппроксимация;
- интерполяция;
- численное интегрирование;
- нахождение экстремумов.
Литература[править]
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970