Численное интегрирование

1603. Численное интегрирование // kirianov [3:48]

Численное интегрирование — это способ вычисления определённого интеграла по приближенной формуле, являющейся суммой взвешенных значений функций.

Описание

Суть численного интегрирования состоит в расчёте значения определённого интеграла по взвешенным значениям подынтегральной функции, без использования первообразной функции.

Сила численного интегрирования состоит в возможности оценки значения определённого интеграла путём простых вычислений.

Обозначения

n — число отрезков на [a; b];

I_n — квадратурная формула;

f(x_i) — значения подынтегральной функции в точках x_i,

q_i — весовые коэффициенты,

R_n — остаточный член.

Формула

При численном интегрировании используется общая формула определённого интеграла $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=I_{n}+R_{n}$, где

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_n=\sum\limits_{i=1}^nq_if(x_i)}  — квадратурная формула.

Порядок точности формул

m = 1 для формулы правых прямоугольников

m = 1 для формулы левых прямоугольников

m = 2 для формулы прямоугольников

m = 2 для формулы трапеций

m = 4 для формулы Симпсона

m = 4 для формулы трёх восьмых

Правило Рунге

Для оценки точности расчёта интеграла I с помощью квадратурных формул (например, необходимо рассчитать значение интеграла с помощью квадратурной формулы для I_2n=I_h/2) на практике можно применять правило Рунге:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|I-I_{2n}\right|<\frac{\left|I_{2n}-I_n\right|}{2^m-1}} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|I-I_{h/2}\right|<\frac{\left|I_{h/2}-I_h\right|}{2^m-1}} , где

I_n = I_h — значение квадратурной формулы при шаге h = (b − a)/n,

I_2n = I_h/2 — значение квадратурной формулы при шаге h/2 = (b − a)/(2n),

m — порядок точности квадратурной формулы.

Условие применения правила Рунге строго задаётся для чётного n следующим неравенством:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2^m\left|\frac{I_n-I_{2n}}{I_{n/2}-I_n}-1\right|<0,1} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2^m\left|\frac{I_h-I_{h/2}}{I_{2h}-I_h}-1\right|<0,1} , где

I_n = I_h — значение квадратурной формулы при шаге h = (b − a)/n,

I_2n = I_h/2 — значение квадратурной формулы при шаге h/2 = (b − a)/(2n),

I_n/2 = I_2h — значение квадратурной формулы при шаге 2h = (b − a)/(n/2),

m — порядок точности квадратурной формулы.

Формула Ричардсона

Более точным (по крайней мере на порядок выше, то есть с порядком точности m + 1) значением интеграла I (по сравнению со значением I_2n = I_h/2) является значение I*, вычисленное или экстраполированное по формуле Ричардсона:

$I^{*}={\frac {2^{m}I_{2n}-I_{n}}{2^{m}-1}}$ или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I^*=\frac{2^mI_{h/2}-I_h}{2^m-1}} , где

I_n = I_h — значение квадратурной формулы при шаге h = (b − a)/n,

I_2n = I_h/2 — значение квадратурной формулы при шаге h/2 = (b − a)/(2n),

m — порядок точности квадратурной формулы.

Виды формул:

1. Квадратурные формулы:
   1. формула правых прямоугольников,
   2. формула левых прямоугольников,
   3. формула прямоугольников,
   4. формула трапеций,
   5. формула Симпсона,
   6. формула трёх восьмых.
2. Кубатурные формулы:
   1. формула прямоугольников,
   2. формула трапеций,
   3. формула Симпсона,
   4. формула трёх восьмых.

Численные методы:

1. решение уравнений;
2. решение систем уравнений;
3. ортогонализация;
4. решение дифференциальных уравнений;
5. аппроксимация;
6. интерполяция;
7. численное интегрирование;
8. нахождение экстремумов.

Литература

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970