Криволинейный интеграл

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Интеграл первого рода по кривой из плоскости Oxy. Геометрический смысл — площадь поверхности, составленной из параллельных отрезков
Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого рода // Видеокурсы DA VINCI [9:33]
Математический анализ, 48 урок, Криволинейные интегралы второго рода // Видеокурсы DA VINCI [17:30]

Криволинейный интегралинтеграл по кривой. По её направлению такие интегралы делятся на два вида:

  1. интеграл по ненаправленной кривой;
  2. интеграл по ориентированной кривой.

Частные случаи[править]

В первом случае в качестве интегрируемой функции, как правило, берут скалярное поле. Теоретически это необязательно, но во многих источниках интеграл от векторной функции по неориентированной кривой просто не вызывает интереса.

В случае с ориентированной кривой чаще всего, напротив, рассматривают векторное поле, причём перемножают его с бесконечно малым вектором dr кривой скалярно.

Тогда первый интеграл называется криволинейным интегралом первого рода, а последний — криволинейным интегралом второго рода[1].

Также, в контексте матанализа комплексных чисел, под интегралом по ориентированной кривой понимается комплексный интеграл.

Строгое определение[править]

Интеграл первого рода[править]

Иногда во время приведения строгого определения договариваются о том, что кривая не должна иметь кратности. Для того, чтобы это объяснить на строгом уровне, можно предъявить параметризацию кривой в виде зависимости r(t) радиус-вектора r от параметра t на неком множестве параметризации и потребовать, чтобы на этом множестве единственному значению r возможно было сопоставить только единственное значение t. Под этим и понимается некратность кривой. Нужно это для того, чтобы при разбиении кривой на упорядоченный набор точек r(t0), r(t1), …, r(tn) можно было гарантировать, что точка с индексом i всегда лежит «между» точками с индексами h и j, если сам индекс i лежит между h и j. Но без помощи параметризации объяснить, что вообще значит «точка лежит между двумя другими», если мы имеем дело не с прямой, скорее всего, вообще невозможно.

Также важно договориться, что кривая будет гладкой (дифференцируемой).

Тогда можно ввести число

[math]\displaystyle{ \Delta_{\mathbf r} = \max_{i=\overline{0,\,…,\,n}}\{|\mathbf r(t_0) - \mathbf r(t_1)|,\,…,|\mathbf r(t_{n-1}) - \mathbf r(t_n)|\}, }[/math]

представляющее собой максимум среди расстояний между парами соседних[2] точек. Назначение этого числа в том, что мы его будем устремлять к нулю, а значит, в разбиении кривой совершенно все пары соседних точек будут приближаться друг к другу до бесконечно малых расстояний. Это обязательно возможно в силу непрерывности кривой (которое следует из заданного условия гладкости).

Тогда интеграл от функции f(r) по кривой r(t) определяется как

[math]\displaystyle{ \lim_{\underset{\Delta_{\mathbf r}\to0}{n\to\infty}}\sum_{i=0,5}^{n-0,5} f(\mathbf r_i)|\Delta\mathbf r_i|, }[/math]

где под ri с полуцелым индексом чисто символически мы имеем в виду произвольную точку, которая лежит между парой соседних точек разбиения r(ti−0,5) и r(ti+0,5), а под |Δri| — расстояние между этой парой.

Говорят, что интеграл существует, если данный предел существует вне зависимости от того, как разбить кривую и как конкретно расставлять промежуточные точки ri, лишь бы в пределе все пары соседних точек r(ti−0,5) и r(ti+0,5) приближались друг к другу до нулевого расстояния.

Если это определение обобщить на кусочно-гладкую[3] кривую, то, вообще говоря, стремление числа Δr к 0 будет возможным, только если это кривая непрерывна даже в изломе или же все её разрывы устранимы с помощью пределов. Если же среди разрывов окажется какое-то конечное число неустранимых, то потребуется обобщать определение, разбивая эту разрывную кривую как объединение конечного числа гладких.

Интеграл второго рода[править]

В отличие от интеграла первого рода интеграл по скалярному произведению позволяет себе и кратность, и самопересечения.

Зато сохраняется условие, что параметризация кривой должна быть либо:

  • дифференцируемой;
  • кусочно-дифференцируемой, но одновременно с этим либо:
    • быть непрерывной;
    • иметь только устранимые разрывы.

Тогда число

[math]\displaystyle{ \Delta_{\mathbf r} = \max_{i=\overline{0,\,…,\,n}}\{|\mathbf r(t_0) - \mathbf r(t_1)|,\,…,|\mathbf r(t_{n-1}) - \mathbf r(t_n)|\} }[/math]

возможно устремить к нулю — и интеграл II рода от вектор-функции F определяется как

[math]\displaystyle{ \lim_{\underset{\Delta_{\mathbf r}\to0}{n\to\infty}}\sum_{i=0,5}^{n-0,5} \mathbf F(\mathbf r_i) \cdot \Delta\mathbf r_i. }[/math]

На случай кусочно-дифференцируемых кривых с неустранимыми разрывами обобщается сложением кривых.

Вычисление[править]

Интеграл I рода[править]

В определении говорится, что интеграл от функции f(r) по кривой C, заданной зависимостью r(t), где область параметризации [a, b] и ab, — это

[math]\displaystyle{ \int_C f(\mathbf r)|\text{d}\mathbf r| = \lim\sum f(\mathbf r_i)|\Delta\mathbf r_i|. }[/math]

Интеграл 1-го рода можно свести к определённому интегралу, если Δr поделить на Δt, чтобы получить производную, и заново умножить на Δt:

[math]\displaystyle{ \lim\sum f(\mathbf r_i)|\Delta\mathbf r_i| = \lim\sum f(\mathbf r_i)\left|\frac{\Delta\mathbf r_i}{\Delta t_i}\right|\cdot|\Delta t_i| = \int_{[a,\,b]} f(\mathbf r)|\mathbf r'(t)|\cdot|\text{d}t|, }[/math]

где с дифференциала dt модуль снимается, если задать ориентацию интегрирования:

[math]\displaystyle{ \int_a^b f(\mathbf r)|\mathbf r'(t)|\text{d}t. }[/math]

Примечания[править]

<references>

  1. Оба определения на сайте ВолгГТУ.
  2. То есть у которых соседние индексы.
  3. Которую возможно разбить на конечный набор гладких