Криволинейный интеграл

Интеграл первого рода по кривой из плоскости Oxy. Геометрический смысл — площадь поверхности, составленной из параллельных отрезков

Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого рода // Видеокурсы DA VINCI [9:33]

Математический анализ, 48 урок, Криволинейные интегралы второго рода // Видеокурсы DA VINCI [17:30]

Криволинейный интеграл — интеграл по кривой.

По её направлению такие интегралы делятся на два вида:

1. интеграл по ненаправленной кривой;
2. интеграл по ориентированной кривой.

Частные случаи

В первом случае в качестве интегрируемой функции, как правило, берут скалярное поле. Теоретически это необязательно, но во многих источниках интеграл от векторной функции по неориентированной кривой просто не вызывает интереса.

В случае с ориентированной кривой чаще всего, напротив, рассматривают векторное поле, причём перемножают его с бесконечно малым вектором dr кривой скалярно.

Тогда первый интеграл называется криволинейным интегралом первого рода, а последний — криволинейным интегралом второго рода.

Также, в контексте матанализа комплексных чисел, под интегралом по ориентированной кривой понимается комплексный интеграл.

Строгое определение

Интеграл первого рода

Иногда во время приведения строгого определения договариваются о том, что кривая не должна иметь кратности. Для того, чтобы это объяснить на строгом уровне, можно предъявить параметризацию кривой в виде зависимости r(t) радиус-вектора r от параметра t на неком множестве параметризации и потребовать, чтобы на этом множестве единственному значению r возможно было сопоставить только единственное значение t. Под этим и понимается некратность кривой. Нужно это для того, чтобы при разбиении кривой на упорядоченный набор точек r(t₀), r(t₁), …, r(t_n) можно было гарантировать, что точка с индексом i всегда лежит «между» точками с индексами h и j, если сам индекс i лежит между h и j. Но без помощи параметризации объяснить, что вообще значит «точка лежит между двумя другими», если мы имеем дело не с прямой, скорее всего, вообще невозможно.

Также важно договориться, что кривая будет гладкой (дифференцируемой).

Тогда можно ввести число

$\Delta _{\mathbf {r} }=\max _{i={\overline {0,\,\ldots ,\,n}}}\{|\mathbf {r} (t_{0})-\mathbf {r} (t_{1})|,\,\ldots ,|\mathbf {r} (t_{n-1})-\mathbf {r} (t_{n})|\},$

представляющее собой максимум среди расстояний между парами соседних точек. Назначение этого числа в том, что мы его будем устремлять к нулю, а значит, в разбиении кривой совершенно все пары соседних точек будут приближаться друг к другу до бесконечно малых расстояний. Это обязательно возможно в силу непрерывности кривой (которое следует из заданного условия гладкости).

Тогда интеграл от функции f(r) по кривой r(t) определяется как

$\lim _{\underset {\Delta _{\mathbf {r} }\to 0}{n\to \infty }}\sum _{i=0,5}^{n-0,5}f(\mathbf {r} _{i})|\Delta \mathbf {r} _{i}|,$

где под r_i с полуцелым индексом чисто символически мы имеем в виду произвольную точку, которая лежит между парой соседних точек разбиения r(t_i−0,5) и r(t_i+0,5), а под |Δr_i| — расстояние между этой парой.

Говорят, что интеграл существует, если данный предел существует вне зависимости от того, как разбить кривую и как конкретно расставлять промежуточные точки r_i, лишь бы в пределе все пары соседних точек r(t_i−0,5) и r(t_i+0,5) приближались друг к другу до нулевого расстояния.

Если это определение обобщить на кусочно-гладкую кривую, то, вообще говоря, стремление числа Δ_r к 0 будет возможным, только если это кривая непрерывна даже в изломе или же все её разрывы устранимы с помощью пределов. Если же среди разрывов окажется какое-то конечное число неустранимых, то потребуется обобщать определение, разбивая эту разрывную кривую как объединение конечного числа гладких.

Интеграл второго рода

В отличие от интеграла первого рода интеграл по скалярному произведению позволяет себе и кратность, и самопересечения.

Зато сохраняется условие, что параметризация кривой должна быть либо:

• дифференцируемой;
• кусочно-дифференцируемой, но одновременно с этим либо:
  • быть непрерывной;
  • иметь только устранимые разрывы.

Тогда число

$\Delta _{\mathbf {r} }=\max _{i={\overline {0,\,\ldots ,\,n}}}\{|\mathbf {r} (t_{0})-\mathbf {r} (t_{1})|,\,\ldots ,|\mathbf {r} (t_{n-1})-\mathbf {r} (t_{n})|\}$

возможно устремить к нулю — и интеграл II рода от вектор-функции F определяется как

$\lim _{\underset {\Delta _{\mathbf {r} }\to 0}{n\to \infty }}\sum _{i=0,5}^{n-0,5}\mathbf {F} (\mathbf {r} _{i})\cdot \Delta \mathbf {r} _{i}.$

На случай кусочно-дифференцируемых кривых с неустранимыми разрывами обобщается сложением кривых.

Вычисление

Интеграл I рода

В определении говорится, что интеграл от функции f(r) по кривой C, заданной зависимостью r(t), где область параметризации [a, b] и a ≤ b, — это

$\int _{C}f(\mathbf {r} )|{\text{d}}\mathbf {r} |=\lim \sum f(\mathbf {r} _{i})|\Delta \mathbf {r} _{i}|.$

Интеграл 1-го рода можно свести к определённому интегралу, если Δr поделить на Δt, чтобы получить производную, и заново умножить на Δt:

$\lim \sum f(\mathbf {r} _{i})|\Delta \mathbf {r} _{i}|=\lim \sum f(\mathbf {r} _{i})\left|{\frac {\Delta \mathbf {r} _{i}}{\Delta t_{i}}}\right|\cdot |\Delta t_{i}|=\int _{[a,\,b]}f(\mathbf {r} )|\mathbf {r} '(t)|\cdot |{\text{d}}t|,$

где с дифференциала dt модуль снимается, если задать ориентацию интегрирования:

$\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} )|\mathbf {r} '(t)|{\text{d}}t.$