Скалярное произведение

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Скалярное произведение векторов [14:19]
9 класс, 18 урок, Скалярное произведение векторов // Видеокурсы DA VINCI [7:04]

Скалярное произведение векторов — это число, равное сумме произведений координат двух векторов-сомножителей. Также скалярное произведение векторов можно равносильно определить как произведение модулей на косинус угла между ними. В школе такое определение является достаточно традиционным, если вообще не самым частым[1].

Почему именно косинус[править]

Dot Product.svg Скалярное произведение.jpg

Для того, чтобы это было понятно, желательно дать другое определение скалярного произведения, которое, наверное, было бы самым по-человечески интуитивным: скалярное произведение векторов — это произведение модуля первого вектора и проекции второго на первый. Такое определение обычно можно встретить только вне школьной базовой программы, — например, в вузах[2], а также просто в специализированной литературе.

По этому определению смысл скалярного умножения оказывается очень прост: скалярное произведение — это как бы мера того, насколько векторы, с одной стороны, длинны сами по себе, а с другой стороны, насколько они сонаправлены друг другу. Если проекция одного вектора на второй сонаправленна этому второму вектору, скалярное произведение будет положительным; если противонаправленна — отрицательным.

Данное определение очень полезно не только само по себе, но и тем, что именно благодаря нему некоторые из свойств скалярного произведения становятся в разы прозрачнее, чем по определениям из преамбулы.

Обозначения[править]

Обычно скалярное произведение векторов a и b обозначается через точку:

[math]\displaystyle{ \mathbf a\cdot\mathbf b }[/math]

или, что более редко, в круглых скобках[3]:

[math]\displaystyle{ (\mathbf a, \mathbf b). }[/math]

Формула[править]

Через косинус:

[math]\displaystyle{ \mathbf r_1 \cdot \mathbf r_2 = r_1r_2\cos\widehat{\mathbf r_1 \mathbf r_2}. }[/math]

По координатам:

[math]\displaystyle{ (a_1, a_2,\ ..., a_n) \cdot (b_1,\ ..., b_n) = a_1b_1 \, + \, ... + \, a_nb_n. }[/math]

И, наконец, через проекции:

[math]\displaystyle{ \mathbf r_1 \cdot \mathbf r_2 = r_1\cdot(r_2)_{\parallel\mathbf r_1} = (r_1)_{\parallel\mathbf r_2} \cdot r_2. }[/math]

Свойства[править]

Переместительное свойство:

[math]\displaystyle{ \mathbf r_1 \cdot \mathbf r_2 = \mathbf r_2 \cdot \mathbf r_1. }[/math]

Два свойства линейности:

  • [math]\displaystyle{ (\mathbf r_1 + \mathbf r_2) \cdot \mathbf r_3 = \mathbf r_1 \cdot \mathbf r_3 + \mathbf r_2 \cdot \mathbf r_3, \qquad \mathbf r_1 \cdot (\mathbf r_2 + \mathbf r_3) = \mathbf r_1 \cdot \mathbf r_2 + \mathbf r_1 \cdot \mathbf r_3; }[/math]
  • [math]\displaystyle{ (a_1 \mathbf r_1) \cdot (a_2 \mathbf r_2) = a_1a_2(\mathbf r_1 \cdot \mathbf r_2). }[/math]

Скалярный квадрат:

[math]\displaystyle{ (a_1,\ ..., a_n) \cdot (a_1,\ ..., a_n) = |(a_1,\ ..., a_n)|^2 = a_1^2 \, + \, ... + \, a_n^2. }[/math]

Умножение на нулевой вектор:

[math]\displaystyle{ \mathbf{r \cdot 0} = \mathbf{0 \cdot r} = \mathbf0. }[/math]

Распределительное свойство[править]

Отдельного внимания, пожалуй, заслуживает распределительное свойство, или дистрибутивность, скалярного умножения относительно сложения. Дело в том, что доказательство — да и вообще само реальное понимание причины этого свойства возникает именно при использовании определения через проекцию, так как в таком случае теорема оказывается очень очевидной:

[math]\displaystyle{ (\mathbf r_1 + \mathbf r_2) \cdot \mathbf r_3 = \big(\text{proj}_{\mathbf r_3}(\mathbf r_1 + \mathbf r_2)\big)r_3 = (\text{proj}_{\mathbf r_3}\mathbf r_1 + \text{proj}_{\mathbf r_3}\mathbf r_2)r_3 = \mathbf r_1 \cdot \mathbf r_3 + \mathbf r_2 \cdot \mathbf r_3, }[/math]

если конец первого слагаемого внутри скобки совместить с началом второго слагаемого.

Равносильность определений[править]

Если между определениями через проекцию и через косинус равносильность довольно ясна, то их равносильность по отношению к координатному определению не очень очевидна. Для того, чтобы это «прочувстовать», можно использовать доказательство с использованием дистрибутивности (которую, в свою очередь, мы выше доказали с помощью определения через те самые проекции):

[math]\displaystyle{ \begin{align} (a_1\mathbf i_1 \, + \, ... + \, a_n\mathbf i_n) \cdot (b_1\mathbf i_1 \, + \, ... + \, b_n\mathbf i_n) & = a_1\mathbf i_1\cdot(b_1\mathbf i_1 \, + \, ... + \, b_n\mathbf i_n) \, + \\ & + a_2\mathbf i_2\cdot(b_1\mathbf i_1 \, + \, ... + \, b_n\mathbf i_n) \, + \\ & + \, ... + \\ & + a_n\mathbf i_n \cdot(b_1\mathbf i_1 \, + \, ... + \, b_n\mathbf i_n) = \\ & = a_1b_1 + \\ & + \, ... + \\ & \, + a_nb_n. \end{align} }[/math]

Интеграл по кривой[править]

Есть два вида криволинейных интеграла:

  1. где функция интегрируется по обычной кривой;
  2. где функция интегрируется по ориентированной кривой.

Во втором случае обычно в качестве функции используют векторное поле F(r) — и тогда, как правило, функцию F(r) и бесконечно малый вектор dr, сонаправленный ориентированной кривой, связывают именно скалярным произведением:

[math]\displaystyle{ \int_{\vec C}\mathbf F(\mathbf r)\cdot\text{d}\mathbf r. }[/math]

Тогда интеграл называется криволинейным интегралом второго рода[4].

Другие операции[править]

Литература[править]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970

Ссылки[править]

Примечания[править]

<references>

  1. Определение скалярного умножения здесь и здесь.
  2. Файл из сайта физфака МГУ
  3. На странице сайта НГУ. Архив которой — по ссылке.
  4. Не очень доступное определение на сайте Томского политехнического вуза.