Скалярное произведение

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Скалярное произведение векторов [14:19]
9 класс, 18 урок, Скалярное произведение векторов // Видеокурсы DA VINCI [7:04]

Скалярное произведение векторов — это число, равное сумме произведений координат двух векторов-сомножителей. Также скалярное произведение векторов можно равносильно определить как произведение модулей на косинус угла между ними. В школе такое определение является достаточно традиционным, если вообще не самым частым[1].

Почему именно косинус[править]

Dot Product.svg Скалярное произведение.jpg

Для того, чтобы это было понятно, желательно дать другое определение скалярного произведения, которое, наверное, было бы самым по-человечески интуитивным: скалярное произведение векторов — это произведение модуля первого вектора и проекции второго на первый. Такое определение обычно можно встретить только вне школьной базовой программы, — например, в вузах[2], а также просто в специализированной литературе.

По этому определению смысл скалярного умножения оказывается очень прост: скалярное произведение — это как бы мера того, насколько векторы, с одной стороны, длинны сами по себе, а с другой стороны, насколько они сонаправлены друг другу. Если проекция одного вектора на второй сонаправленна этому второму вектору, скалярное произведение будет положительным; если противонаправленна — отрицательным.

Данное определение очень полезно не только само по себе, но и тем, что именно благодаря нему некоторые из свойств скалярного произведения становятся в разы прозрачнее, чем по определениям из преамбулы.

Обозначения[править]

Обычно скалярное произведение векторов a и b обозначается через точку:

или, что более редко, в круглых скобках[3]:

Формула[править]

Через косинус:

По координатам:

И, наконец, через проекции:

Свойства[править]

Переместительное свойство:

Два свойства линейности:

Скалярный квадрат:

Умножение на нулевой вектор:

Распределительное свойство[править]

Отдельного внимания, пожалуй, заслуживает распределительное свойство, или дистрибутивность, скалярного умножения относительно сложения. Дело в том, что доказательство — да и вообще само реальное понимание причины этого свойства возникает именно при использовании определения через проекцию, так как в таком случае теорема оказывается очень очевидной:

если конец первого слагаемого внутри скобки совместить с началом второго слагаемого.

Равносильность определений[править]

Если между определениями через проекцию и через косинус равносильность довольно ясна, то их равносильность по отношению к координатному определению не очень очевидна. Для того, чтобы это «прочувстовать», можно использовать доказательство с использованием дистрибутивности (которую, в свою очередь, мы выше доказали с помощью определения через те самые проекции):

Интеграл по кривой[править]

Есть два вида криволинейных интеграла:

  1. где функция интегрируется по обычной кривой;
  2. где функция интегрируется по ориентированной кривой.

Во втором случае обычно в качестве функции используют векторное поле F(r) — и тогда, как правило, функцию F(r) и бесконечно малый вектор dr, сонаправленный ориентированной кривой, связывают именно скалярным произведением:

Тогда интеграл называется криволинейным интегралом второго рода[4].

Другие операции[править]


Источники[править]

  1. Определение скалярного умножения здесь и здесь.
  2. Файл из сайта физфака МГУ
  3. На странице сайта НГУ. Архив которой — по ссылке.
  4. Не очень доступное определение на сайте Томского политехнического вуза.

Литература[править]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970