Скалярное произведение
Скалярное произведение векторов — число, равное сумме произведений координат двух векторов-сомножителей.
Также скалярное произведение векторов можно равносильно определить как произведение модулей на косинус угла между ними. В школе такое определение является достаточно традиционным, если вообще не самым частым[1].
Почему именно косинус[править]
Для того, чтобы это было понятно, желательно дать другое определение скалярного произведения, которое, наверное, было бы самым по-человечески интуитивным: скалярное произведение векторов — это произведение модуля первого вектора и проекции второго на первый. Такое определение обычно можно встретить только вне школьной базовой программы, — например, в вузах[2], а также просто в специализированной литературе.
По этому определению смысл скалярного умножения оказывается очень прост: скалярное произведение — мера того, насколько векторы, с одной стороны, длинны сами по себе, а с другой стороны, насколько они сонаправлены друг другу. Если проекция одного вектора на второй сонаправленна этому второму вектору, скалярное произведение будет положительным; если противонаправленна — отрицательным.
Данное определение очень полезно не только само по себе, но и тем, что именно благодаря нему некоторые из свойств скалярного произведения становятся в разы прозрачнее, чем по определениям из преамбулы.
Обозначения[править]
r1 = (x1, y1, z1) — первый вектор;
r2 = (x2, y2, z2) — второй вектор;
Обычно скалярное произведение векторов a и b обозначается через точку:
или, что более редко, в круглых скобках[3]:
Формула[править]
Для трёхмерного пространства:
(r1 ∙ r2) = (x1 x2 + y1 y2 + z1 z2)
Через косинус:
По координатам:
Через проекции:
Свойства[править]
Переместительное свойство:
Два свойства линейности:
Скалярный квадрат:
Умножение на нулевой вектор:
- Распределительное свойство
Отдельного внимания, пожалуй, заслуживает распределительное свойство, или дистрибутивность, скалярного умножения относительно сложения. Дело в том, что доказательство — да и вообще само реальное понимание причины этого свойства возникает именно при использовании определения через проекцию, так как в таком случае теорема оказывается очень очевидной:
если конец первого слагаемого внутри скобки совместить с началом второго слагаемого.
Равносильность определений[править]
Если между определениями через проекцию и через косинус равносильность довольно ясна, то их равносильность по отношению к координатному определению не очень очевидна. Для того, чтобы это «прочувстовать», можно использовать доказательство с использованием дистрибутивности (которую, в свою очередь, мы выше доказали с помощью определения через те самые проекции):
Интеграл по кривой[править]
Есть два вида криволинейных интеграла:
- где функция интегрируется по обычной кривой;
- где функция интегрируется по ориентированной кривой.
Во втором случае обычно в качестве функции используют векторное поле F(r) — и тогда, как правило, функцию F(r) и бесконечно малый вектор dr, сонаправленный ориентированной кривой, связывают именно скалярным произведением:
Тогда интеграл называется криволинейным интегралом второго рода[4].
Источники[править]
Литература[править]
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970
Другие операции[править]
- нахождение длины вектора;
- сложение векторов;
- вычитание векторов;
- умножение вектора на число;
- умножение координат векторов;
- скалярное произведение;
- векторное произведение;
- смешанное произведение;
- двойное векторное произведение;
- нахождение угла между векторами;
- проекция вектора на вектор;
- ортогонализация векторов.