Вектор (математика)

← другие значения

Зачем нужен Вектор. Объяснение математического смысла // SciencePub [4:17]

Векторы. Метод координат. Вебинар / Математика // TutorOnline — уроки для школьников [42:11]

Вектор (от лат. vector — несущий) — отрезок определённой длины и направления.

Векторное исчисление — раздел математики, в котором изучаются операции над векторами.

Обозначения

Вектор можно представить как (последовательность, кортеж) однородных элементов. То есть вектором называется упорядоченная совокупность n чисел. Обозначается Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle {\overline {x}}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})} , числа Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} называются компонентами (координатами) вектора.

В любом Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle R^{n}} , точка, соответствующая набору $(0,0,...,0)$ имеет особое значение и называется началом координат. Если в упорядоченной совокупности Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} -чисел — Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R^n} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} равно единице, двум или трем, то мы ее можем представить геометрически как, соответственно, прямую, плоскость и пространство. Если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n=2} , то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R^2} можно рассматривать как плоскость, как совокупность упорядоченных пар вещественных чисел с координатами Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} . Если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n=3} то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R^3} можно рассматривать как пространство, как совокупность упорядоченных троек вещественных чисел с координатами Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} . Вектор это элемент Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R^n} . Таким образом, упорядоченной совокупности может равным образом соответствовать как точка так и вектор. Так как вектор геометрически представляется как направленный отрезок, вектор можно рассматривать как разность между двумя точками — координатами начала и конца отрезка.

Векторы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)} с элементами Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1,x_2,\ldots,x_n} из поля K можно складывать и умножать на число, они образуют n-мерное линейное пространство над полем K.

Рассмотрим векторы в трехмерном пространстве R³.

r₁=(x₁, y₁, z₁) — первый вектор;

r₂=(x₂, y₂, z₂) — второй вектор;

r₃=(x₃, y₃, z₃) — третий вектор;

φ_r1r2 — угол между векторами (0 < φ_r1r2 < π).

λ — число;

μ — число.

Формулы

Длина вектора

 → Длина вектора

Сложение векторов

 → Сумма векторов в трёхмерном пространстве

Вычитание векторов

 → Разность векторов в трёхмерном пространстве

Умножение вектора на число

 → Умножение вектора на число

Скалярное произведение

 → Скалярное произведение

Векторное произведение

 → Векторное произведение

Смешанное произведение

 → Смешанное произведение

Двойное векторное произведение

 → Двойное векторное произведение

Угол между векторами

 → Угол между векторами в трёхмерном пространстве

См. также

• Спинор

Виды операций

1. нахождение длины вектора;
2. сложение векторов;
3. вычитание векторов;
4. умножение вектора на число;
5. умножение координат векторов;
6. деление координат векторов;
7. извлечение корня из координат вектора;
8. скалярное произведение;
9. векторное произведение;
10. смешанное произведение;
11. двойное векторное произведение;
12. нахождение угла между векторами;
13. проекция вектора на вектор;
14. ортогонализация векторов.

Другие понятия

1. число;
2. формулы;
3. неравенства;
4. погрешность;
5. предел;
6. производная;
7. дифференциал;
8. последовательность;
9. суммы;
10. ряд;
11. признак сходимости;
12. интеграл;
13. преобразование;
14. экстремум;
15. вектор;
16. матрица;
17. функции;
18. уравнения;
19. дифференциальные уравнения;
20. теоремы.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970

Ссылки

• Участник:Logic-samara