Математика

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Математический язык в познании и мышлении — Алексей Семихатов // ПостНаука [14:00]
Современная математика (рассказывает математик Михаил Цфасман) [47:55]
Гордон — Диалоги (№ 18). Математика и структура Вселенной

Математиказнания, выводимые из логических правил и аксиом; совокупность человеческих традиций поиска и приложения таких знаний.

Древнейшая точная наука и ветвь классической философии, математика изучает умопостигаемые математические объекты чисто абстрактной породы. Как искусство, математика задействует и направляет мышление и информационные технологии — на поиск универсальных алгоритмических закономерностей, общих решений задач, методов моделирования, путей логического изыскания, и иногда — в преследовании математической красоты. Наиболее полное определение математики и её предметафилософская проблема без общепринятого решения.

Характер и суть математики[править]

Математика — научная дисциплина познания и применения понятий, строго и однозначно сводимых к их формальным свойствам и потому целиком обособленных от области приложения, опыта, культуры и семантики. Математический язык необходимо задействован особым частным образом — в физике и, отдельно, — в теоретической информатике. Помимо того, математический язык востребован во всех науках и технологиях, в той или иной мере, вплоть до необходимости. Классическая математика была построена в контексте заложения основ естественной науки, замыкаясь на изучении отношений величин при помощи чисел. Говоря о том, что впоследствии названо линейной алгеброй, как о целой «новой ветви» математики, учёный-универсалист Герман Грассман в XIX веке заявил прецедент расширения предметной области «всей» математики к тому времени.

Так или иначе, для Аристотеля вся наука делилась на три наиобщие ветви: математика, физика и теология. Это указывает на понимание эллинского термина «математика», как более общего, чем логика, грамматика и собственно, то, что с XVIII ве́ка наиболее устойчиво называют математикой: изучение чисел, уравнений, координат, алгебраических численных выражений, статистик, ставок на вероятности и всего того лишь, что касается отношений мер величины́. Развитие математической логики, сочетающей логику и математику, уяснило связь этих двух древних дисциплин, как единых в основании. Позднее, прецедент символьной логики утвердил наличие вычислительных аксиоматических систем, свободных от понятий, типичных для математики в ходе её истории. Оказывается, при последовательном упрощении в иерархии вычислений, математика сводится к символьной логике, к которой независимо сводятся формальные системы иной породы: например, как в проектировании электронных схем, в тренировке систем машинного обучения, в спецификациях той или иной формальной грамматики и так далее.

В виду этих соображений, математика, понятая либо в наиболее широком значении, либо в наиболее близком исходному, это полный синоним термина формальная наука: открытая историческая программа проведения и изучения вычислений, подчинённых не научному методу экспериментальных наук и не отсутствующему «методу» иных академических областей, а — целиком аксиоматическому методу, который охватывает логику, геометрию, классическую математику, абстрактную алгебру, математическую статистику, криптографию, формальную лингвистику, теорию игр, теорию информации, всю теоретическую информатику,… — как и любую иную систему вычислений, что пока не была оформлена или изучена. Развитие само́й математики также проходит, как вычисление: её гипотезы задаются так, чтобы быть опровергнутыми контрпримером, либо быть строго доказанными через непрерывную цепь логического следования от аксиом. В ряде областей информатики — как теоретической, так и прикладной — обнажается фундаментальная понятийная связь между математическим доказательством — «шагом» развития подлинного математического знания — и родом технического артефакта, известным, как компьютерные программы. Эта связь была выяснена накануне появления технологии программируемых вычислительных устройств, компьютеров. В современной трактовке связь обозначена, как соответствие Карри — Говарда и его обобщения.

Историческая формальная неразрывность задаёт развитию наиобщих областей математики характерный ритм: решению поставленных задач и изобретению «новых» формальных структур сопутствует накопление вопросов к наиболее «старым» основам: число, функция, пространство, вероятность,… — или даже переосмысление логических основ вычисления, таких, как множество, свойство, знак, отношение, оператор, данное.

Математику условно делят на чистую и прикладную. Как правило, задачи прикладной математики менее абстрактны, но более сложны в по числу измерений, условий и других всевозможных параметров, требуют математического «зрения».

Математические дисциплины[править]

Возможность понятийного деления математики на чёткие разделы — отражается в практике разделения математики по учебным дисциплинам по разным курсам, отделениям, кружкам — в учебных и исследовательских учреждениях.

Традиционно выделяемые разделы математики:

Математическая логика и математическая статистика, являясь по сути математическими дисциплинами, могут изучаться отдельно и имеют свою внутреннюю парадигму. Математическая логика затрагивает вопрос об основаниях математики и таким образом отчасти изучает и саму математику со стороны. Математическая статистика во многом опирается на интуицию, связанную с анализом опытных данных, поступающих из реального мира. Особняком также стоит теоретическая информатика, математические теории и методы которой нередко мотивированы реальными и исторически актуальными запросами технологий.

Аксиоматизация математики[править]

Гордон — Диалоги (№ 268). Доказательность в математике

Математику можно рассматривать как систему аксиом с правилами вывода: как учение, целиком подчинённое аксиоматическому методу. Раз выбор системы аксиом (и даже правил вывода) произвольный, возможно существование различных вариантов математики. Довольно объемлющей является система аксиом о чистых множествах Цермело-Френкеля.[Прим. 1]

Теоремы Гёделя, доказанные в XX веке, установили, что если содержательная математика (в которой хотя бы «работают» натуральные числа) непротиворечива, то это невозможно доказать её собственными средствами, а также, что если арифметика непротиворечива, то любая система её аксиом будет неполна: найдутся утверждения, про которые нельзя доказать, ложны они или истинны.

Теоретико-множественный взгляд определяет понятия, составляя их из меньших. Более новый подход определяет внешние соотношения и протоколы взаимодействий между «чёрными ящиками»: теория категорий.

История математики[править]

Исторически математика основывается на появившихся уже у древних народов арифметике и геометрии.

Цифры майя

Как система аксиом и их следствий, математика начала оформляться в Древней Греции. Математический анализ и математика в современном виде зарождается с XVII века и поныне, в тесной связи с научно-технической революцией. Важнейшая связь математики с физикой, как и некий общий смысл математики, есть предмет философского вопроса.[Прим. 2]

Появление в XX веке компьютеров придаёт вычислительному процессу новое ускорение: алгоритмическая и экспериментальная составляющая поиска математических решений вдруг стала проводиться многократно быстрее, позволяя строить гораздо более сложные, насыщенные параметрами математические модели. Возможность хранить произвольные массивы дискретных данных и «вглядываться» в них через автоматическую обработку компьютером — позволяет находить глубокие формальные истины в самых разных областях бытия.

Происхождение термина[править]

Термин «математика» используется в русском языке с конца XVII в. Слово пришло из западноевропейских языков, хотя первоосновой является греческое слово, обозначающее «познающий»[1], в свою очередь, произошедшее от древнеиндоевропейского корня *mendh- [2] «учиться» или же от сочетания корней *men- «мнить», «мыслить»[3] и *dhe- «класть», «наделять».[4]

См. также[править]

Примечания[править]

  1. По мнению Юрия Матиясевича, академика РАН, в 1970 году внесшего окончательный вклад в решение 10-ой проблемы Гильберта, из теории множеств выводимы около 99,99 % теорем «всей математики».
  2. Поныне без окончательного ответа. На это указывал, например, физик-математик Герман Вейль.

Источники[править]

Ссылки[править]

 

АстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИсторияЛингвистикаМатематикаМедицинаПсихологияПолитологияСоциологияСтатистикаФизикаФилологияХимияЭкономикаЮриспруденция

Список академических дисциплинНауковедение

 

Портал «Математика» | Категория «Математика»

 

Плюс ( + ) • Минус (  ) • Знак умножения ( · или × ) • Знак деления ( : или / ) • Знак корня (  ) • Знак равенства ( =, , и др.) • Знаки неравенства ( , >, < и др.) • Бесконечность (  ) • Знак интеграла (  ) • Факториал! ) • Вертикальная черта| ) • Знак градуса° ) • Минута градуса (  ) • Секунда градуса (  ) • Штрих ) • Звёздочка* ) • Обратная косая черта, бэкслеш\ ) • Процент% ) • Промилле ) • Тильда~ ) • Циркумфлекс^ ) • Плюс-минус± ) • Обелюс÷ ) • Десятичный разделитель, или . ) • Обратный факториал!? )

МатематикаИстория математических обозначений