Математика

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Математический язык в познании и мышлении — Алексей Семихатов // ПостНаука [14:00]
Современная математика (рассказывает математик Михаил Цфасман) [47:55]
Гордон — Диалоги (№ 18). Математика и структура Вселенной

Математика — часть человеческого знания, опирающаяся на аксиомы и формальные логические правила вывода и напрямую не связанная с опытом.

Исследует отношения между идеальными (мыслимыми, умопостигаемыми) объектами, определенными посредством аксиом. Подобные базовые объекты — натуральные числа, множества, геометрические фигуры (точка, прямая линия и т. д.) Математика является языком для других наук, в первую очередь физики, объясняющей свойства наблюдаемого мира. Проблема точного определения математики является философской проблемой, которая не имеет окончательного общепризнанного решения.

Математика — искусство обращения с абстрактными понятиями, целиком и строго построенными по правилам логики. Древняя научная традиция, поныне развивающаяся и по независимым творческим мотивам, и как средство понятийного основоположения естественных наук.

Предмет математики и связь с логикой[править]

Математика — дисциплина познания понятий количества, соотношения, пространства, преобразования… — сводимых к их формальным свойствам и оттого целиком обособленных от опыта и применения.

Формальная неразрывность и строгость задают для истории математики характерный ритм: решению поставленных задач и изобретению «новых» формальных структур сопутствует возврат к наиболее «старым» основам, — число, функция, вероятность… — или даже переосмысление логических основ вычисления, таких, как множество, свойство, отношение и оператор.

Классическая математика была построена в контексте заложения основ науки, замыкаясь на изучении отношений величин при помощи чисел. Говоря о том, что впоследствии названо линейной алгеброй, как о «новой ветви» математики, учёный-универсалист Герман Грасман в XIX веке обозначил прецедент расширения предметной области «всей» математики к тому времени.

Так или иначе, для Аристотеля вся наука делилась на крупнейшие ветви: математика, физика и теология. Это указывает на понимание грекоязычного термина «математика» самими эллинами, как более общего, чем логика, грамматика и собственно, то, что с XVIII ве́ка наиболее устойчиво называют математикой: изучение чисел, вычислений, координат, алгебраических численных выражений, численных статистик и ставок на вероятности и всего того лишь, что касается отношений мер величины́. Развитие математической логики, как сочетающей логику и математику для развития самой математики «извне», уяснило связь этих двух древних дисциплин, как единых в основании. Ещё позднее, прецедент символьной логики утвердил наличие вычислительных аксиоматических систем, свободных от понятий, присущих арифметике или измерениям вообще. Оказывается, при последовательном упрощении в иерархии вычислений, математика в её историческом виде — сводится к символьной логике, к которой независимо сводятся вычислительные схемы иной породы: например, как в проектировании электронных схем или в спецификациях той или иной формальной грамматики.

В виду этих соображений, математика, понятая либо в наиболее широком значении, либо в наиболее близком исходному, это полный синоним термина формальная наука: традиция проведения и изучения вычислений, подчинённых не научному методу экспериментальных наук, но собственному аксиоматическому методу, включая логику, геометрию, классическую математику, абстрактную алгебру, статистику, криптографию, формальную лингвистику, теорию игр, теорию информации, всю теоретическую информатику, а также любую другую систему вычислений, что ещё не была предложена или изучена. Развитие самой математики также идёт путём вычисления: её гипотезы обычно задаются так, чтобы быть опровергнутыми контрпримером, либо быть строго доказанными через непрерывную цепь логического следования от аксиом.

Математику также условно делят на чистую и прикладную. Как правило, задачи прикладной математики менее абстрактны, но более сложны в по числу измерений, условий и других всевозможных параметров, требуют математического «зрения».

История математики[править]

Исторически математика основывается на появившихся уже у древних народов арифметике и геометрии.

Цифры майя

Как система аксиом и их следствий, математика начала оформляться в Древней Греции. Математический анализ и математика в современном виде зарождается с XVII века и поныне, в тесной связи с научно-технической революцией. Важнейшая связь математики с физикой, как и некий общий смысл математики, есть предмет философского вопроса.[Прим. 1]

Появление в XX веке компьютеров придаёт вычислительному процессу новое ускорение: алгоритмическая и экспериментальная составляющая поиска математических решений вдруг стала проводиться многократно быстрее, позволяя строить гораздо более сложные, насыщенные параметрами математические модели. Возможность хранить произвольные массивы дискретных данных и «вглядываться» в них через автоматическую обработку компьютером — позволяет находить глубокие формальные истины в самых разных областях бытия.

Аксиоматизация математики[править]

Гордон — Диалоги (№ 268). Доказательность в математике

Математику можно рассматривать как систему аксиом с правилами вывода: как учение, целиком подчинённое аксиоматическому методу. Раз выбор системы аксиом (и даже правил вывода) произвольный, возможно существование различных вариантов математики. Довольно объемлющей является система аксиом о чистых множествах Цермело-Френкеля.[Прим. 2]

Теоремы Гёделя, доказанные в XX веке, установили, что если содержательная математика (в которой есть натуральные числа) непротиворечива, то это невозможно доказать её собственными средствами, а также, что если арифметика непротиворечива, то любая система её аксиом будет неполна: найдутся утверждения, про которые нельзя доказать, ложны они или истинны.

Теоретико-множественный взгляд определяет понятия, составляя их из меньших. Более новый подход определяет внешние соотношения и протоколы взаимодействий между «чёрными ящиками»: теория категорий.

Происхождение термина[править]

Термин «математика» используется в русском языке с конца XVII в. Слово пришло из западноевропейских языков, хотя первоосновой является греческое слово, обозначающее «познающий»[1], в свою очередь, произошедшее от древнеиндоевропейского корня *mendh- [2] «учиться» или же от сочетания корней *men- «мнить», «мыслить»[3] и *dhe- «класть», «наделять».[4]

Математические дисциплины[править]

Практика деления математики на разделы отражается в деление ее на отдельные учебные дисциплины, изучаемые людьми в учебных заведениях.[5]

Традиционно выделяемые разделы математики:

Математическая логика, Математическая статистика являясь по сути математическими дисциплинами, могут изучаться отдельно и имеют свою внутреннюю парадигму. Математическая логика затрагивает вопрос об основаниях математики и таким образом отчасти изучает и саму математику со стороны. Математическая статистика во многом опирается на интуицию, связанную с анализом опытных данных, поступающих из реального мира. Особняком также стоит Теоретическая информатика (Theoretical computer science), лежащая на стыке математики и информатики, которая изучает математические основы проведения вычислений, что опять таки означает частичный выход в реальный мир.

См. также[править]

Примечания[править]

  1. Поныне без окончательного ответа. На это указывал, например, физик-математик Герман Вейль.
  2. По мнению Юрия Матиясевича, академика РАН, в 1970 году внесшего окончательный вклад в решение 10-ой проблемы Гильберта, из теории множеств выводимы около 99,99 % теорем «всей математики».

Источники[править]

Ссылки[править]