Математическое доказательство

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Один из старейших фрагментов работы Евклида «Начала», учебника, который сохранился и использовался в течение тысячелетий для обучения методам написания математических доказательств
Доказательство — Принципы математического мышления // Маткульт-привет! Алексей Савватеев и Ко [25:55]
Гордон - Диалоги (№ 268). Доказательность в математике

Математическое доказательство, формальное доказательство — правильно сформулированный порядок логических утверждений, связанных отношением следования (импликации, влечения, вывода) непрерывной цепью от аксиом к искомому утверждению.

Доказательство необходимо, как завершительный шаг цикла развития любой теории в формальных науках: имея фиксированный логический язык, аксиоматическую систему и набор известных теорем, сообщество исследователей решает статус некоторых гипотез, проводя доказательство их истинности или ложности: в первом случае гипотеза обретает статус теоремы, а во втором случае говорят, что гипотеза опровергается. Также могут строить математическое доказательство теоремам, которые уже́ доказаны иным способом: для более краткого и/или простого доказательства, в практике образования, в поисках альтернативной системы аксиом, либо в преследовании математической красоты.

В зависимости от контекста, может подразумеваться доказательство в рамках определенной формальной системы (построенная по особым правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, согласно которому при желании возможно восстановить формальное доказательство. Иногда в процессе доказательства теоремы выделяются доказательства менее сложных утверждений (лемм).

Доказательство может опираться на очевидные или общепринятые явления или случаи, известные как аксиомы[1][2]. Доказательства являются примерами дедуктивного рассуждения и отличаются от индуктивных или эмпирических аргументов. Доказательство должно продемонстрировать, что доказываемое утверждение всегда верно, иногда путем перечисления всех возможных случаев и показывая, что утверждение выполняется в каждом из них.

Формальными доказательствами занимается специальный раздел математики — теория доказательств. Сами формальные доказательства математики почти никогда не используют, так как для человеческого восприятия они очень сложны и часто занимают слишком много места. Обычное доказательство имеет вид текста, в котором автор, опираясь на аксиомы и доказанные ранее теоремы, с помощью логических средств показывает истинность некоторого утверждения. В отличие от других наук, в математике недопустимы эмпирические доказательства, то есть все утверждения доказываются исключительно логическим способом. В математике важную роль играют математическая интуиция и аналогии между различными объектами и теоремами; однако, все эти средства используются учеными только при поиске доказательств, сами доказательства не могут базироваться на таких средствах.

[править] Парадоксы

Некорректное ведение доказательства может вести к парадоксам. Так парадокс под названием «Доказательство одноцветности всех лошадей» — пример некорректного применения метода математической индукции.

[править] Источники

  1. Cupillari, Antonella. The Nuts and Bolts of Proofs. Academic Press, 2001. p. 3.
  2. Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1. p. 86. ISBN 0-470-45793-7

[править] Ссылки

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты