Математическое доказательство
Математическое доказательство, формальное доказательство — правильно сформулированный порядок логических утверждений, связанных отношением следования (импликации, влечения, вывода) непрерывной цепью от аксиом к искомому утверждению.
Общая информация[править]
Доказательство необходимо, как завершение теории в формальных науках: имея фиксированный логический язык, аксиоматическую систему и набор известных теорем, сообщество исследователей решает статус некоторых гипотез, проводя доказательство их истинности в качестве теорем или же опровергая их доказательством ложности. Обнаружение противоречий в рамках теории или её аксиоматических основ — приводит к её кризису, побуждающему поправку или ревизию, вплоть до смены парадигм. Также могут строить математическое доказательство теоремам, которые уже́ доказаны иным способом: для более краткого и/или простого доказательства, в практике образования, в поисках альтернативной системы аксиом, либо в преследовании математической красоты.
В зависимости от контекста, может подразумеваться доказательство в рамках определенной формальной системы (построенная по особым правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, согласно которому при желании возможно восстановить формальное доказательство. Иногда в процессе доказательства теоремы выделяются доказательства менее сложных утверждений (лемм).
Доказательство может опираться на очевидные или общепринятые явления или случаи, известные как аксиомы[1][2]. Доказательства являются примерами дедуктивного рассуждения и отличаются от индуктивных или эмпирических аргументов. Доказательство должно продемонстрировать, что доказываемое утверждение всегда верно, иногда путем перечисления всех возможных случаев и показывая, что утверждение выполняется в каждом из них.
Формальными доказательствами занимается специальный раздел математики — теория доказательств. Сами формальные доказательства математики почти никогда не используют, так как для человеческого восприятия они очень сложны и часто занимают слишком много места. Обычное доказательство имеет вид текста, в котором автор, опираясь на аксиомы и доказанные ранее теоремы, с помощью логических средств показывает истинность некоторого утверждения. В отличие от других наук, в математике недопустимы эмпирические доказательства, то есть все утверждения доказываются исключительно логическим способом. В математике важную роль играют математическая интуиция и аналогии между различными объектами и теоремами; однако, все эти средства используются учеными только при поиске доказательств, сами доказательства не могут базироваться на таких средствах.
Парадоксы[править]
Некорректное ведение доказательства может вести к парадоксам. Так парадокс под названием «Доказательство одноцветности всех лошадей» — пример некорректного применения метода математической индукции.
См. также[править]
Источники[править]
Ссылки[править]
- Proof theory. Encyclopedia of Mathematics (англ.)
- 2πix.com: Logic. (англ.)
- How To Write Proofs. Larry W. Cusick (англ.)
- ProofWiki.org. (англ.)