Геометрия

Геометрия, «От Архимеда до наших дней» «Леннаучфильм» ([29:26] чёрно-белый) Режиссёр - С. Крупенко

Геометрия в математике и естествознании — та или иная формальная система, родственная классической евклидовой геометрии, которая даёт вычислительную модель для решения практических и исследовательских задач о «нашем», физическом пространстве. Классическая геометрия задействует понятия, в основном, поддающиеся интуиции и знакомые через бытовую языковую культуру: место, сторона, расстояние, угол, сечение, прямота, размер, объём и многие другие. При этом же геометрия строго и точно обоснована математически, подвергаясь аксиоматизации и координатизации.

Все теории классической физики: механика, оптика, химия, гидродинамика, термодинамика и многие другие, — полагаются на евклидову геометрию и притом добиваются строгой экспериментальной проверки.

История[править]

Ранний успех геометрии, как научной традиции, засвидетельствован в творениях древней каменной архитектуры: в руинах построек от самых разных культур и исторических веков.

Аксиоматический метод, зародившись в литературе античных философов, пределом своего применения имел именно теорию геометрии, но во время становления европейской натуральной философии и экспериментальной науки, стал ключевым методом самопроверки для любого теоретического направления науки.

В искусствах, задействующих сущности геометрии: в оптике, графике, живописи, картографии, печатном деле, — геометрические соотношения осваиваются не в их математической сути, но через практическое решение задач передачи пространственных размеров и фигур. Открытие телескопии (правил построения оптических приборов) и перспективы (техники услежения за визуальным полем) — происходило одновременно с возрождением формальной математической традиции в Европе, либо даже предшествовало ему.

В первой половине XVII века Рене Декарт и Пьер де Ферма изобрели метод координат, позволяющий, среди прочего, записывать геометрические построения через уравнения — методами алгебры. Было осознано соответствие понятия функции с одномерной континуальной кривой, проведённой на эвклидовой плоскости.

В 1840-х годах Герман Грассман заложил основы линейной алгебры и определил статус геометрии, как частного рода формальных систем, допускающих произвольное число измерений. В XIX веке исследованы семейства различных геометрий, порождаемых алгебраически замкнутыми символьными схемами. Такое обобщение языка математики позволило рассматривать пространство-время, как единое, неделимое и со «своей» геометрией, более сложной, чем классическая. В сторону упрощения же идёт исследование формальных систем, обременённых меньшим или менее сложным набором аксиом: топология, дискретная геометрия, алгебраическая геометрия и другие.

Аксиоматика эвклидовой геометрии[править]

В лекциях «Основания геометрии» (конец XIX века) Давид Гильберт перестроил традиционную аксиоматику, выделив три своеобразные «группы» аксиом: 7 связи, 4^[1] упорядоченности и 6 конгруэнтности, отдельно утверждая односторонне независимые аксиому о параллелях и аксиому Архимеда. Позже была добавлена дополнительная аксиома законченности, полноты, точности (Vollständigkeit).

Непротиворечивость данных аксиом доказывается сопоставлением со множеством тех вещественных чисел Ω, которые объемлют все алгебраические числа $\omega$ , получаемые из единицы операциями + — × ÷ и ${\sqrt {1+\omega ^{2}}}$ . Это те операции, которым соответствуют построения циркулем и линейкой.

Далее определяется понятие (некоей, частной) численной системы, как удовлетворяющей тем или иным свойствам счёта. Вещественные числа при этом образуют наиболее строгую систему, как удовлетворяющую всем семнадцати свойствам, в целом определяемым так:

Операция сложения или умножения над двумя числами точно определяет другое число. Если получаемое число равно одному из тех чисел, то другое было: в сложении — единицей, в умножении — нулём. Сложение и/или произведение ассоциативно и/или симметрично. Умножение дистрибутивно по сложению слева/справа. Это теоремы связи. Теоремы порядка: в паре чисел одно больше другого, а то — меньше первого. Это свойство транзитивно и/или симметрично монотонно по сложению и/или умножению. И теорема Архимеда: Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\gt»): {\displaystyle \forall a, b \gt 0: (a+a+...+a) \gt b} .

Гильберт указывает на проблему исследования логической взаимозависимости этих свойств и в частности показывает, что коммутативность умножения следует из совокупности всех прочих данных правил счёта.

Такое сопоставление геометрических и алгебраических законов обосновывает предмет аналитической геометрии: координатную плоскость или координатное пространство.