VIDEO
Видеоурок «Понятие объема» [11:05]
Объём трёхмерной фигуры — мера занимаемого трёхмерной фигурой пространства , измеряемая в кубических единицах[1]
Общая информация [ править ] Объем часто определяется численно с использованием производной единицы СИ — кубического метра. Под объемом контейнера обычно понимают вместимость контейнера; то есть количество жидкости (газа или жидкости), которое может вместить контейнер, а не количество пространства, которое сам контейнер вытесняет. Трехмерным математическим формам также приписываются объемы. Объемы некоторых простых форм, таких как правильные, прямые и круглые, можно легко вычислить с помощью арифметических формул. Объемы сложных форм можно рассчитать с помощью интегрального исчисления, если существует формула для границы формы. Одномерные фигуры (например, линии) и двухмерные фигуры (например, квадраты) получают нулевой объем в трехмерном пространстве.
Объем твердого тела (правильной или неправильной формы) можно определить по вытеснению жидкости. Вытеснение жидкости также можно использовать для определения объема газа. Общий объем двух веществ обычно больше, чем объем только одного из веществ. Однако иногда одно вещество растворяется в другом, и в таких случаях объединенный объем не складывается.[2]
В дифференциальной геометрии объем выражается через форму объема и является важным глобальным римановым инвариантом. В термодинамике объем является фундаментальным параметром и является переменной, сопряженной с давлением.
Единицы измерения [ править ] Любая единица длины дает соответствующую единицу объема: объем куба, стороны которого имеют заданную длину. Например, кубический сантиметр (см3 ) — это объем куба, длина сторон которого составляет один сантиметр (1 см).
В Международной системе единиц (СИ) стандартной единицей объема является кубический метр (м3 ). Метрическая система также включает литр (L) как единицу объема, где один литр — это объем 10-сантиметрового куба. Таким образом
1 литр = (10 см)3 = 1000 кубических сантиметров = 0,001 кубических метров, так
1 кубический метр = 1000 литров. Небольшие количества жидкости часто измеряются в миллилитрах, где
1 миллилитр = 0,001 литра = 1 кубический сантиметр. Таким же образом можно измерить большие количества в мегалитрах, где
1 миллион литров = 1000 кубометров = 1 мегалитр. Объём трёхмерной фигуры, заданной неравенством f(x, y,z)≤0 , считается по следующим формулам.
Прямоугольная система координат [ править ]
V
фиг
=
∭
f
(
x
,
y
,
z
)
≤
0
1
d
x
d
y
d
z
⇔
V
фиг
=
∫
x
1
x
2
d
x
∫
y
1
(
x
)
y
2
(
x
)
d
y
∫
z
1
(
x
,
y
)
z
2
(
x
,
y
)
1
d
z
⇔
{\displaystyle V_{\text{фиг}}=\iiint \limits _{f(x,y,z)\leq 0}1dxdydz\Leftrightarrow V_{\text{фиг}}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}dx\int \limits _{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}dy\int \limits _{z_{1}(x,y)}^{z_{2}(x,y)}1dz\Leftrightarrow }
⇔
V
фиг
=
∫
x
1
x
2
d
x
∫
y
1
(
x
)
y
2
(
x
)
z
|
z
1
(
x
,
y
)
z
2
(
x
,
y
)
d
y
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}dx\int \limits _{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}\left.z\right|_{z_{1}(x,y)}^{z_{2}(x,y)}dy\Leftrightarrow }
⇔
V
фиг
=
∫
x
1
x
2
d
x
∫
y
1
(
x
)
y
2
(
x
)
[
z
2
(
x
,
y
)
−
z
1
(
x
,
y
)
]
d
y
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}dx\int \limits _{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}\left[z_{2}(x,y)-z_{1}(x,y)\right]dy\Leftrightarrow }
⇔
V
фиг
=
∬
f
(
x
,
y
,
z
(
x
,
y
)
)
≤
0
[
z
2
(
x
,
y
)
−
z
1
(
x
,
y
)
]
d
x
d
y
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}=\iint \limits _{f(x,y,z(x,y))\leq 0}\left[z_{2}(x,y)-z_{1}(x,y)\right]dxdy}
Сферическая система координат [ править ]
V
фиг
=
∭
f
(
r
cos
φ
sin
ψ
,
r
sin
φ
sin
ψ
,
r
cos
ψ
)
≤
0
r
2
sin
ψ
d
r
d
φ
d
ψ
⇔
{\displaystyle V_{\text{фиг}}=\iiint \limits _{f(r\cos \varphi \sin \psi ,r\sin \varphi \sin \psi ,r\cos \psi )\leq 0}r^{2}\sin \psi drd\varphi d\psi \Leftrightarrow }
⇔
V
фиг
=
∫
φ
1
φ
2
d
φ
∫
r
1
(
φ
)
r
2
(
φ
)
d
r
∫
ψ
1
(
r
,
φ
)
ψ
2
(
r
,
φ
)
r
2
sin
ψ
d
ψ
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{r_{1}(\varphi )}^{r_{2}(\varphi )}dr\int \limits _{\psi _{1}(r,\varphi )}^{\psi _{2}(r,\varphi )}r^{2}\sin \psi d\psi \Leftrightarrow }
⇔
V
фиг
=
∫
φ
1
φ
2
d
φ
∫
r
1
(
φ
)
r
2
(
φ
)
r
2
[
−
cos
ψ
|
ψ
1
(
r
,
φ
)
ψ
2
(
r
,
φ
)
]
d
r
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{r_{1}(\varphi )}^{r_{2}(\varphi )}r^{2}\left[\left.-\cos \psi \right|_{\psi _{1}(r,\varphi )}^{\psi _{2}(r,\varphi )}\right]dr\Leftrightarrow }
⇔
V
фиг
=
∫
φ
1
φ
2
d
φ
∫
r
1
(
φ
)
r
2
(
φ
)
r
2
[
cos
(
ψ
1
(
r
,
φ
)
)
−
cos
(
ψ
2
(
r
,
φ
)
)
]
d
r
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{r_{1}(\varphi )}^{r_{2}(\varphi )}r^{2}\left[\cos(\psi _{1}(r,\varphi ))-\cos(\psi _{2}(r,\varphi ))\right]dr\Leftrightarrow }
⇔
V
фиг
=
∫
φ
1
φ
2
d
φ
∫
ψ
1
(
φ
)
ψ
2
(
φ
)
d
ψ
∫
r
1
(
φ
,
ψ
)
r
2
(
φ
,
ψ
)
r
2
sin
ψ
d
r
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{\psi _{1}(\varphi )}^{\psi _{2}(\varphi )}d\psi \int \limits _{r_{1}(\varphi ,\psi )}^{r_{2}(\varphi ,\psi )}r^{2}\sin \psi dr\Leftrightarrow }
⇔
V
фиг
=
1
3
∫
φ
1
φ
2
d
φ
∫
ψ
1
(
φ
)
ψ
2
(
φ
)
sin
ψ
r
3
|
r
1
(
φ
,
ψ
)
r
2
(
φ
,
ψ
)
d
ψ
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}={\frac {1}{3}}\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{\psi _{1}(\varphi )}^{\psi _{2}(\varphi )}\left.\sin \psi r^{3}\right|_{r_{1}(\varphi ,\psi )}^{r_{2}(\varphi ,\psi )}d\psi \Leftrightarrow }
⇔
V
фиг
=
1
3
∫
φ
1
φ
2
d
φ
∫
ψ
1
(
φ
)
ψ
2
(
φ
)
sin
ψ
[
r
2
3
(
φ
,
ψ
)
−
r
1
3
(
φ
,
ψ
)
]
d
ψ
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}={\frac {1}{3}}\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{\psi _{1}(\varphi )}^{\psi _{2}(\varphi )}\sin \psi \left[r_{2}^{3}(\varphi ,\psi )-r_{1}^{3}(\varphi ,\psi )\right]d\psi }
Цилиндрическая система координат [ править ]
V
фиг
=
∭
f
(
r
cos
φ
,
r
sin
φ
,
z
)
≤
0
r
d
r
d
φ
d
z
⇔
{\displaystyle V_{\text{фиг}}=\iiint \limits _{f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,z)\leq 0}rdrd\varphi dz\Leftrightarrow }
⇔
V
фиг
=
∫
φ
1
φ
2
d
φ
∫
r
1
(
φ
)
r
2
(
φ
)
d
r
∫
z
1
(
r
,
φ
)
z
2
(
r
,
φ
)
r
d
z
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{r_{1}(\varphi )}^{r_{2}(\varphi )}dr\int \limits _{z_{1}(r,\varphi )}^{z_{2}(r,\varphi )}rdz\Leftrightarrow }
⇔
V
фиг
=
∫
φ
1
φ
2
d
φ
∫
r
1
(
φ
)
r
2
(
φ
)
r
z
|
z
1
(
r
,
φ
)
z
2
(
r
,
φ
)
d
r
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{r_{1}(\varphi )}^{r_{2}(\varphi )}\left.rz\right|_{z_{1}(r,\varphi )}^{z_{2}(r,\varphi )}dr\Leftrightarrow }
⇔
V
фиг
=
∫
φ
1
φ
2
d
φ
∫
r
1
(
φ
)
r
2
(
φ
)
r
[
z
2
(
r
,
φ
)
−
z
1
(
r
,
φ
)
]
d
r
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{r_{1}(\varphi )}^{r_{2}(\varphi )}r\left[z_{2}(r,\varphi )-z_{1}(r,\varphi )\right]dr\Leftrightarrow }
⇔
V
фиг
=
∫
φ
1
φ
2
d
φ
∫
z
1
(
φ
)
z
2
(
φ
)
d
z
∫
r
1
(
z
,
φ
)
r
2
(
z
,
φ
)
r
d
r
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{z_{1}(\varphi )}^{z_{2}(\varphi )}dz\int \limits _{r_{1}(z,\varphi )}^{r_{2}(z,\varphi )}rdr\Leftrightarrow }
⇔
V
фиг
=
1
2
∫
φ
1
φ
2
d
φ
∫
z
1
(
φ
)
z
2
(
φ
)
r
2
|
r
1
(
z
,
φ
)
r
2
(
z
,
φ
)
d
z
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}={\frac {1}{2}}\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{z_{1}(\varphi )}^{z_{2}(\varphi )}\left.r^{2}\right|_{r_{1}(z,\varphi )}^{r_{2}(z,\varphi )}dz\Leftrightarrow }
⇔
V
фиг
=
1
2
∫
φ
1
φ
2
d
φ
∫
z
1
(
φ
)
z
2
(
φ
)
[
r
2
2
(
z
,
φ
)
−
r
1
2
(
z
,
φ
)
]
d
z
{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}={\frac {1}{2}}\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{z_{1}(\varphi )}^{z_{2}(\varphi )}\left[r_{2}^{2}(z,\varphi )-r_{1}^{2}(z,\varphi )\right]dz}
Объём трёхмерных фигур [ править ]
↑ wikt:ru:объём
↑ One litre of sugar (about 970 grams) can dissolve in 0.6 litres of hot water, producing a total volume of less than one litre. Solubility . — «Up to 1800 grams of sucrose can dissolve in a liter of water.» Проверено 1 мая 2010.
![{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}dx\int \limits _{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}\left[z_{2}(x,y)-z_{1}(x,y)\right]dy\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a98aab8504cbf3ce734a284f22a979e2db1bcc2c)
![{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}=\iint \limits _{f(x,y,z(x,y))\leq 0}\left[z_{2}(x,y)-z_{1}(x,y)\right]dxdy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c02bfc4981fa8644fd6ea24d2b92faa7614702ca)
![{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{r_{1}(\varphi )}^{r_{2}(\varphi )}r^{2}\left[\left.-\cos \psi \right|_{\psi _{1}(r,\varphi )}^{\psi _{2}(r,\varphi )}\right]dr\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d242eb6dc058e7e2ff8db36065073ad11ca62787)
![{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{r_{1}(\varphi )}^{r_{2}(\varphi )}r^{2}\left[\cos(\psi _{1}(r,\varphi ))-\cos(\psi _{2}(r,\varphi ))\right]dr\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f574fbaf79a36e3aa17a6f292e27555c768eaa)
![{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}={\frac {1}{3}}\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{\psi _{1}(\varphi )}^{\psi _{2}(\varphi )}\sin \psi \left[r_{2}^{3}(\varphi ,\psi )-r_{1}^{3}(\varphi ,\psi )\right]d\psi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa7bbccf84fa35df3c2efb65bc4059b799d8fc3b)
![{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{r_{1}(\varphi )}^{r_{2}(\varphi )}r\left[z_{2}(r,\varphi )-z_{1}(r,\varphi )\right]dr\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/768f41540ef5b859889afcacc6091df00a726700)
![{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{фиг}}={\frac {1}{2}}\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{z_{1}(\varphi )}^{z_{2}(\varphi )}\left[r_{2}^{2}(z,\varphi )-r_{1}^{2}(z,\varphi )\right]dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1751ab6468425a6520b7ba24993ae9e7526b4e06)