Объём фигуры вращения

Видеоурок «Объем тела вращения» // Математика от alwebra.com.ua [2:45]

Объем тела, образованного вращением кривой вокруг оси х // KhanAcademyRussian [8:09]

Объём фигуры вращения — объём тела, ограниченного фигурой вращения.

Формулы

Формула 1

Объём тела вращения, образованного вращением кривой y = f(x) вокруг оси OX:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_{\text{фиг.вращ.}OX}=\pi\int\limits_{x_1}^{x_2}f^2(x)dx \Leftrightarrow V_{\text{фиг.вращ.}OX}=\pi\int\limits_{x_1}^{x_2}y^2dx}

Формула 2

Объём тела вращения, образованного вращением кривой x = f(y) вокруг оси OY:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_{\text{фиг.вращ.}OY}=\pi\int\limits_{y_1}^{y_2}f^2(y)dy \Leftrightarrow V_{\text{фиг.вращ.}OY}=\pi\int\limits_{y_1}^{y_2}x^2dy}

Примеры фигур вращения

1. фигура вращения;
2. шар;
3. цилиндр;
4. конус;
5. усечённый цилиндр;
6. усечённый конус;
7. шаровой сегмент;
8. шаровой сектор;
9. шаровой слой;
10. шаровой клин;
11. центральный шаровой клин;
12. торовый клин;
13. цилиндрическая труба;
14. цилиндрическое копыто;
15. конусное копыто;
16. шаровое копыто;
17. параболоидное копыто;
18. шаровая бочка;
19. круговая бочка;
20. параболическая бочка;
21. сегментное кольцо;
22. тор;
23. кокон;
24. купол;
25. сфероид;
26. параболоид вращения.

См. также

• Площадь поверхности фигуры вращения

Другие формулы

1. трёхмерная фигура;
2. эллипсоид;
3. эллиптический цилиндр;
4. эллиптический конус;
5. эллиптический параболоид;
6. фигура вращения.

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике — М., 1956, стр.395.