Объём фигуры вращения

Видеоурок «Объем тела вращения» // Математика от alwebra.com.ua [2:45]

Объем тела, образованного вращением кривой вокруг оси х // KhanAcademyRussian [8:09]

Объём фигуры вращения — объём тела, ограниченного фигурой вращения.

Формулы

Формула 1

Объём тела вращения, образованного вращением кривой y = f(x) вокруг оси OX:

$V_{{\text{фиг.вращ.}}OX}=\pi \int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f^{2}(x)dx\Leftrightarrow V_{{\text{фиг.вращ.}}OX}=\pi \int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}y^{2}dx$

Формула 2

Объём тела вращения, образованного вращением кривой x = f(y) вокруг оси OY:

$V_{{\text{фиг.вращ.}}OY}=\pi \int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}f^{2}(y)dy\Leftrightarrow V_{{\text{фиг.вращ.}}OY}=\pi \int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}x^{2}dy$

Примеры фигур вращения

• фигура вращения;
• шар;
• цилиндр;
• конус;
• усечённый цилиндр;
• усечённый конус;
• шаровой сегмент;
• шаровой сектор;
• шаровой слой;
• шаровой клин;
• центральный шаровой клин;
• торовый клин;
• цилиндрическая труба;
• цилиндрическое копыто;
• конусное копыто;
• шаровое копыто;
• параболоидное копыто;
• шаровая бочка;
• круговая бочка;
• параболическая бочка;
• сегментное кольцо;
• тор;
• кокон;
• купол;
• сфероид;
• параболоид.

См. также

• Площадь поверхности фигуры вращения

Другие формулы

• трёхмерная фигура;
• эллипсоид;
• эллиптический цилиндр;
• эллиптический конус;
• эллиптический параболоид;
• фигура вращения.

Литература

• Бронштейн М. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике — М., 1956, стр.395.