Объём фигуры вращения

Видеоурок "Объем тела вращения" // Математика от alwebra.com.ua [2:45]

Объем тела, образованного вращением кривой вокруг оси х // KhanAcademyRussian [8:09]

Объём фигуры вращения — это объём тела, ограниченного фигурой вращения.

Формулы

Формула 1

Объём тела вращения, образованного вращением кривой y = f(x) вокруг оси OX:

[math]\displaystyle{ V_{\text{фиг.вращ.}OX}=\pi\int\limits_{x_1}^{x_2}f^2(x)dx \Leftrightarrow V_{\text{фиг.вращ.}OX}=\pi\int\limits_{x_1}^{x_2}y^2dx }[/math]

Формула 2

Объём тела вращения, образованного вращением кривой x = f(y) вокруг оси OY:

[math]\displaystyle{ V_{\text{фиг.вращ.}OY}=\pi\int\limits_{y_1}^{y_2}f^2(y)dy \Leftrightarrow V_{\text{фиг.вращ.}OY}=\pi\int\limits_{y_1}^{y_2}x^2dy }[/math]

Примеры фигур вращения

• шар;
• цилиндр;
• конус;
• усечённый конус;
• шаровой сегмент;
• шаровой сектор;
• шаровой слой;
• цилиндрическая труба;
• шаровая бочка;
• круговая бочка;
• тор;
• кокон;
• купол;
• сфероид.

См. также

• Площадь поверхности фигуры вращения

Другие формулы

• объём трёхмерной фигуры;
• объём тетраэдра;
• объём параллелепипеда;
• объём эллипсоида;
• объём фигуры вращения.

Виды формул

• неравенства;
• операции;
• расстояния;
• площади;
• объёмы;
• проекции;
• точки;
• уравнения;
• углы;
• дифференциальные уравнения.

Литература

• Бронштейн М. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике — М., 1956, стр.395.