Объём шарового сегмента

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Шаровой сегмент
30. Объем шара, шарового сегмента, слоя и сектора // Инфоурок [8:57]
Формулы

Объём шарового сегмента — это часть объёма шара, ограниченная сегментом сферы и основанием сегмента. Вычисляется по формуле:

V = πh²(3R − h)/3

(R — радиус шара, h — высота шарового сегмента, π — число Пи).

Обозначения[править]

Введём обозначения:

R — радиус шара;

r — радиус основания шарового сегмента;

h — высота шарового сегмента;

Vсегм — объём шарового сегмента.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ V_\text{сегм}=\pi Rh^2-\frac{1}{3}\pi h^3 \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{сегм}=\frac{1}{3}\pi h^2(3R-h), \ R=\frac{h^2+r^2}{2h} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{сегм}=\frac{1}{6}\pi h(h^2+3r^2), \ r=\sqrt{2Rh-h^2} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{сегм}=\frac{1}{3}\pi h(3Rh-h^2), \ h=\sqrt{2Rh-r^2} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{сегм}=\frac{1}{3}\pi h(Rh+r^2), \ h=R-sign(R-h)\cdot\sqrt{R^2-r^2} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{сегм}=\frac{1}{3}\pi R^3(2-3\cos\alpha+\cos^3\alpha), \ h=R(1-\cos\alpha), r=R\sin\alpha }[/math]
  • Заметим, что при высоте сегмента равной диаметру шара, сегмент превращается в шар. Соответственно, формула объёма сегмента с высотой в диаметр шара превращается в формулу объёма шара.

Вывод формулы[править]

[math]\displaystyle{ V_\text{сегм}=\pi\int\limits_{R-h}^R\left(\sqrt{R^2-x^2}\right)^2dx=\pi\int\limits_{R-h}^R(R^2-x^2)dx=\pi\left.\left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{R-h}^R= }[/math]
[math]\displaystyle{ =\pi\left[R^2h-\frac{1}{3}R^3+\frac{1}{3}(R-h)^3\right]=\pi\left(Rh^2-\frac{1}{3}h^3\right)=\frac{1}{3}\pi h^2(3R-h) \Rightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Rightarrow V_\text{сегм}=\frac{1}{3}\pi h^2(3R-h) }[/math]

См. также[править]

Другие формулы[править]

Литература[править]

  • Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М., 1956, стр.177.