Объём шарового сегмента

Шаровой сегмент

30. Объем шара, шарового сегмента, слоя и сектора // Инфоурок [8:57]

Формулы

Объём шарового сегмента — это часть объёма шара, ограниченная сегментом сферы и основанием сегмента. Вычисляется по формуле:

V = πh²(3R − h)/3

(R — радиус шара, h — высота шарового сегмента, π — число Пи).

Обозначения

Введём обозначения:

R — радиус шара;

r — радиус основания шарового сегмента;

h — высота шарового сегмента;

V_сегм — объём шарового сегмента.

Формула

[math]\displaystyle{ V_\text{сегм}=\pi Rh^2-\frac{1}{3}\pi h^3 \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{сегм}=\frac{1}{3}\pi h^2(3R-h), \ R=\frac{h^2+r^2}{2h} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{сегм}=\frac{1}{6}\pi h(h^2+3r^2), \ r=\sqrt{2Rh-h^2} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{сегм}=\frac{1}{3}\pi h(3Rh-h^2), \ h=\sqrt{2Rh-r^2} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{сегм}=\frac{1}{3}\pi h(Rh+r^2), \ h=R-sign(R-h)\cdot\sqrt{R^2-r^2} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{сегм}=\frac{1}{3}\pi R^3(2-3\cos\alpha+\cos^3\alpha), \ h=R(1-\cos\alpha), r=R\sin\alpha }[/math]

• Заметим, что при высоте сегмента равной диаметру шара, сегмент превращается в шар. Соответственно, формула объёма сегмента с высотой в диаметр шара превращается в формулу объёма шара.

Вывод формулы

[math]\displaystyle{ V_\text{сегм}=\pi\int\limits_{R-h}^R\left(\sqrt{R^2-x^2}\right)^2dx=\pi\int\limits_{R-h}^R(R^2-x^2)dx=\pi\left.\left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{R-h}^R= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\pi\left[R^2h-\frac{1}{3}R^3+\frac{1}{3}(R-h)^3\right]=\pi\left(Rh^2-\frac{1}{3}h^3\right)=\frac{1}{3}\pi h^2(3R-h) \Rightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Rightarrow V_\text{сегм}=\frac{1}{3}\pi h^2(3R-h) }[/math]

См. также

• Площадь поверхности шарового сегмента

Другие формулы

• объём фигуры вращения;
• объём шара;
• объём цилиндра;
• объём конуса;
• объём усечённого цилиндра;
• объём усечённого конуса;
• объём шарового сегмента;
• объём шарового сектора;
• объём шарового слоя;
• объём шарового клина;
• объём цилиндрической трубы;
• объём цилиндрического копыта;
• объём конусного копыта;
• объём шаровой бочки;
• объём круговой бочки;
• объём тора;
• объём кокона;
• объём купола;
• объём сфероида.

Литература

• Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М., 1956, стр.177.