Объём шарового сектора

Шаровой сектор

30. Объем шара, шарового сегмента, слоя и сектора // Инфоурок [8:57]

Объём шарового сектора — это часть объёма шара, ограниченная конусом и сегментом сферы. Вычисляется по формуле:

V = 2πR²h/3

(R — радиус шара, h — высота шарового сегмента, π — число Пи).

Обозначения

Введём обозначения:

R — радиус шара и образующая конуса;

r — радиус основания шарового сегмента;

h — высота шарового сегмента;

V_кон — объём конуса;

V_сегм — объём шарового сегмента;

V_сект — объём шарового сектора.

Формула

[math]\displaystyle{ V_\text{сект}=\frac{2}{3}\pi R^2h, \ R=\frac{h^2+r^2}{2h} \Leftrightarrow V_\text{сект}=\frac{\pi}{6h}\left(h^2+r^2\right)^2, \ r=\sqrt{2Rh-h^2} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{сект}=\frac{2}{3}\pi R^2h, \ h=R-sign(R-h)\cdot \sqrt{R^2-r^2} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{сект}=V_\text{сегм}+sign(R-h)\cdot V_\text{кон}, \ V_\text{сегм}=\frac{1}{3}\pi h^2(3R-h), \ V_\text{кон}=\frac{1}{3}\pi r^2|R-h| }[/math]

• Заметим, что при высоте сегмента равной диаметру шара, сектор превращается в шар. Соответственно, формула объёма сектора с высотой в диаметр шара превращается в формулу объёма шара.

Вывод формулы

См. также

• Площадь поверхности шарового сектора

Другие формулы

• объём фигуры вращения;
• объём шара;
• объём цилиндра;
• объём конуса;
• объём усечённого цилиндра;
• объём усечённого конуса;
• объём шарового сегмента;
• объём шарового сектора;
• объём шарового слоя;
• объём шарового клина;
• объём цилиндрической трубы;
• объём цилиндрического копыта;
• объём конусного копыта;
• объём шаровой бочки;
• объём круговой бочки;
• объём тора;
• объём кокона;
• объём купола;
• объём сфероида.

Литература

• Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.177.

Ссылки

• Участник:Logic-samara