Объём шарового сектора
Объём шарового сектора — это часть объёма шара, ограниченная конусом и сегментом сферы. Вычисляется по формуле:
- V = 2πR²h/3
(R — радиус шара, h — высота шарового сегмента, π — число Пи).
Содержание
Обозначения[править]
Введём обозначения:
R — радиус шара и образующая конуса;
r — радиус основания шарового сегмента;
h — высота шарового сегмента;
Vкон — объём конуса;
Vсегм — объём шарового сегмента;
Vсект — объём шарового сектора.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ V_\text{сект}=\frac{2}{3}\pi R^2h, \ R=\frac{h^2+r^2}{2h} \Leftrightarrow V_\text{сект}=\frac{\pi}{6h}\left(h^2+r^2\right)^2, \ r=\sqrt{2Rh-h^2} \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{сект}=\frac{2}{3}\pi R^2h, \ h=R-sign(R-h)\cdot \sqrt{R^2-r^2} \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{сект}=V_\text{сегм}+sign(R-h)\cdot V_\text{кон}, \ V_\text{сегм}=\frac{1}{3}\pi h^2(3R-h), \ V_\text{кон}=\frac{1}{3}\pi r^2|R-h| }[/math]
- Заметим, что при высоте сегмента равной диаметру шара, сектор превращается в шар. Соответственно, формула объёма сектора с высотой в диаметр шара превращается в формулу объёма шара.
Вывод формулы[править]
См. также[править]
Другие формулы[править]
- объём фигуры вращения;
- объём шара;
- объём цилиндра;
- объём конуса;
- объём усечённого цилиндра;
- объём усечённого конуса;
- объём шарового сегмента;
- объём шарового сектора;
- объём шарового слоя;
- объём шарового клина;
- объём цилиндрической трубы;
- объём цилиндрического копыта;
- объём конусного копыта;
- объём шаровой бочки;
- объём круговой бочки;
- объём тора;
- объём кокона;
- объём купола;
- объём сфероида.
Литература[править]
- Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.177.