Объём шара

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Шар
17. Стереометрия на ЕГЭ по математике. Объем шара // Анна Малкова [2:47]
Объем шара // KhanAcademyRussian [6:01]

Объём шара — это число, характеризующее шар в единицах измерения объёма.

Шар — это тело, ограниченное поверхностью вращения (сферой), образующей окружности вокруг оси лежащей в плоскости этой окружности и проходящей через её центр.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

R — радиус шара;

D — диаметр шара;

Sшар — площадь поверхности шара;

Vшар — объём шара.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ V_\text{шар}=\frac{4}{3}\pi R^3 \Leftrightarrow V_\text{шар}=\frac{1}{3}RS_\text{шар}, \ S_\text{шар}=4\pi R^2 \Leftrightarrow V_\text{шар}=\frac{1}{6}\pi D^3, \ D=2R }[/math]

Вывод формулы[править]

1-й способ[править]

[math]\displaystyle{ V_\text{шар}=\pi\int\limits_{-R}^R\left(\sqrt{R^2-x^2}\right)^2dx=2\pi\int\limits_0^R(R^2-x^2)dx=2pi\left.\left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^R= }[/math]
[math]\displaystyle{ =2\pi R^3-\frac{2}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi R^3 \Rightarrow V_\text{шар}=\frac{4}{3}\pi R^3 }[/math]

2-й способ[править]

ОША12.JPG

См. также[править]

Другие формулы[править]

Ссылки[править]

  • Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М., 1956, стр.177.
  • Участник:Logic-samara