Объём шара
Объём шара — число, характеризующее шар в единицах измерения объёма.
Содержание
Обозначения[править]
Введём обозначения:
R — радиус шара;
D — диаметр шара;
Vшар — объём шара.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ V_\text{шар}=\frac{4}{3}\pi R^3 \Leftrightarrow V_\text{шар}=\frac{1}{3}RS_\text{шар}, \ S_\text{шар}=4\pi R^2 \Leftrightarrow V_\text{шар}=\frac{1}{6}\pi D^3, \ D=2R }[/math]
Вывод формулы[править]
1-й способ[править]
- [math]\displaystyle{ V_\text{шар}=\pi\int\limits_{-R}^R\left(\sqrt{R^2-x^2}\right)^2dx=2\pi\int\limits_0^R(R^2-x^2)dx=2pi\left.\left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^R= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =2\pi R^3-\frac{2}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi R^3 \Rightarrow V_\text{шар}=\frac{4}{3}\pi R^3 }[/math]
- Для вывода используется формула «объём фигуры вращения».
2-й способ[править]
- Для вывода используется формула «объём трёхмерной фигуры» в сферических координатах.
См. также[править]
Другие формулы[править]
- объём фигуры вращения;
- объём шара;
- объём цилиндра;
- объём конуса;
- объём усечённого цилиндра;
- объём усечённого конуса;
- объём шарового сегмента;
- объём шарового сектора;
- объём шарового слоя;
- объём шарового клина;
- объём цилиндрической трубы;
- объём цилиндрического копыта;
- объём конусного копыта;
- объём шаровой бочки;
- объём круговой бочки;
- объём тора;
- объём кокона;
- объём купола;
- объём сфероида.
Ссылки[править]
- Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М., 1956, стр.177.
- Участник:Logic-samara