Объём шара

Шар

17. Стереометрия на ЕГЭ по математике. Объем шара // Анна Малкова [2:47]

Объем шара // KhanAcademyRussian [6:01]

Объём шара — это число, характеризующее шар в единицах измерения объёма.

Шар — это тело, ограниченное поверхностью вращения (сферой), образующей окружности вокруг оси лежащей в плоскости этой окружности и проходящей через её центр.

Обозначения

Введём обозначения:

R — радиус шара;

D — диаметр шара;

S_шар — площадь поверхности шара;

V_шар — объём шара.

Формула

[math]\displaystyle{ V_\text{шар}=\frac{4}{3}\pi R^3 \Leftrightarrow V_\text{шар}=\frac{1}{3}RS_\text{шар}, \ S_\text{шар}=4\pi R^2 \Leftrightarrow V_\text{шар}=\frac{1}{6}\pi D^3, \ D=2R }[/math]

Вывод формулы

1-й способ

[math]\displaystyle{ V_\text{шар}=\pi\int\limits_{-R}^R\left(\sqrt{R^2-x^2}\right)^2dx=2\pi\int\limits_0^R(R^2-x^2)dx=2pi\left.\left(R^2x-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^R= }[/math]

[math]\displaystyle{ =2\pi R^3-\frac{2}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi R^3 \Rightarrow V_\text{шар}=\frac{4}{3}\pi R^3 }[/math]

• Для вывода используется формула «объём фигуры вращения».

2-й способ

• Для вывода используется формула «объём трёхмерной фигуры» в сферических координатах.

См. также

• Площадь шара

Другие формулы

• объём фигуры вращения;
• объём шара;
• объём цилиндра;
• объём конуса;
• объём усечённого цилиндра;
• объём усечённого конуса;
• объём шарового сегмента;
• объём шарового сектора;
• объём шарового слоя;
• объём шарового клина;
• объём цилиндрической трубы;
• объём цилиндрического копыта;
• объём конусного копыта;
• объём шаровой бочки;
• объём круговой бочки;
• объём тора;
• объём кокона;
• объём купола;
• объём сфероида.

Ссылки

• Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М., 1956, стр.177.
• Участник:Logic-samara