Объём тора
Объём тора — это число, характеризующее объём, ограниченный тором, в единицах измерения объёма.
Тор — это поверхность вращения образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не проходящей через её центр.
Обозначения[править]
Введём обозначения:
R — радиус окружности вращения образующей окружности тора;
r — радиус образующей окружности тора;
R2 — внешний радиус тора;
R1 — внутренний радиус тора;
D — диаметр окружности вращения образующей окружности тора;
d — диаметр образующей окружности тора;
D2 — внешний диаметр тора;
D1 — внутренний диаметр тора;
Sтор — площадь тора;
Vтор — объём тора.
Формулы[править]
- [math]\displaystyle{ V_\text{тор}=2\pi^2Rr^2 \Leftrightarrow V_\text{тор}=\frac{1}{2}rS_\text{тор}, \ S_\text{тор}=4\pi^2Rr \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{тор}=\frac{1}{4}\pi^2Dd^2, \ D=2R, \ d=2r \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{тор}=\pi^2(R_1+R_2)r^2, \ R = \frac{R_1+R_2}{2} \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{тор}=\frac{1}{8}\pi^2(D_1+D_2)d^2, \ D = \frac{D_1+D_2}{2} }[/math]
Вывод формулы[править]
- [math]\displaystyle{ V_\text{тор}=\pi\int\limits_{-r}^r\left[\left(R+\sqrt{r^2-x^2}\right)^2-\left(R-\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\right]dx = \pi\int\limits_{-r}^r 4R\sqrt{r^2-x^2}dx = }[/math]
- [math]\displaystyle{ =8\pi R\int\limits_0^r \sqrt{r^2-x^2}dx = \left. 4\pi R\left(x\sqrt{r^2-x^2}+r^2\arcsin\frac{x}{r}\right) \right|_0^r = 4\pi Rr^2\arcsin 1 = }[/math]
- [math]\displaystyle{ = 4\pi Rr^2\frac{\pi}{2}=2\pi^2Rr^2 \Rightarrow V_\text{тор}=2\pi^2Rr^2 }[/math]
Использовано, что:
- [math]\displaystyle{ \int\sqrt{a^2-x^2} \;dx = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin\frac{x}{a}\right)+C }[/math]
См. также[править]
Другие формулы[править]
- объём фигуры вращения;
- объём шара;
- объём цилиндра;
- объём конуса;
- объём усечённого цилиндра;
- объём усечённого конуса;
- объём шарового сегмента;
- объём шарового сектора;
- объём шарового слоя;
- объём шарового клина;
- объём цилиндрической трубы;
- объём цилиндрического копыта;
- объём конусного копыта;
- объём шаровой бочки;
- объём круговой бочки;
- объём тора;
- объём кокона;
- объём купола;
- объём сфероида.
Литература[править]
- Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.178.