Объём тора

Тор

Объём тора — это число, характеризующее объём, ограниченный тором, в единицах измерения объёма.

Тор — это поверхность вращения образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не проходящей через её центр.

Обозначения

Введём обозначения:

R — радиус окружности вращения образующей окружности тора;

r — радиус образующей окружности тора;

R₂ — внешний радиус тора;

R₁ — внутренний радиус тора;

D — диаметр окружности вращения образующей окружности тора;

d — диаметр образующей окружности тора;

D₂ — внешний диаметр тора;

D₁ — внутренний диаметр тора;

S_тор — площадь тора;

V_тор — объём тора.

Формулы

[math]\displaystyle{ V_\text{тор}=2\pi^2Rr^2 \Leftrightarrow V_\text{тор}=\frac{1}{2}rS_\text{тор}, \ S_\text{тор}=4\pi^2Rr \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{тор}=\frac{1}{4}\pi^2Dd^2, \ D=2R, \ d=2r \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{тор}=\pi^2(R_1+R_2)r^2, \ R = \frac{R_1+R_2}{2} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{тор}=\frac{1}{8}\pi^2(D_1+D_2)d^2, \ D = \frac{D_1+D_2}{2} }[/math]

Вывод формулы

[math]\displaystyle{ V_\text{тор}=\pi\int\limits_{-r}^r\left[\left(R+\sqrt{r^2-x^2}\right)^2-\left(R-\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\right]dx = \pi\int\limits_{-r}^r 4R\sqrt{r^2-x^2}dx = }[/math]

[math]\displaystyle{ =8\pi R\int\limits_0^r \sqrt{r^2-x^2}dx = \left. 4\pi R\left(x\sqrt{r^2-x^2}+r^2\arcsin\frac{x}{r}\right) \right|_0^r = 4\pi Rr^2\arcsin 1 = }[/math]

[math]\displaystyle{ = 4\pi Rr^2\frac{\pi}{2}=2\pi^2Rr^2 \Rightarrow V_\text{тор}=2\pi^2Rr^2 }[/math]

Использовано, что:

[math]\displaystyle{ \int\sqrt{a^2-x^2} \;dx = \frac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\arcsin\frac{x}{a}\right)+C }[/math]

См. также

• Площадь тора

Другие формулы

• объём фигуры вращения;
• объём шара;
• объём цилиндра;
• объём конуса;
• объём усечённого цилиндра;
• объём усечённого конуса;
• объём шарового сегмента;
• объём шарового сектора;
• объём шарового слоя;
• объём шарового клина;
• объём цилиндрической трубы;
• объём цилиндрического копыта;
• объём конусного копыта;
• объём шаровой бочки;
• объём круговой бочки;
• объём тора;
• объём кокона;
• объём купола;
• объём сфероида.

Литература

• Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.178.