Площадь сферы

Шар

1710. В.П. Минорский. Площадь сферы [6:37]

Площадь сферы — число, характеризующее сферу (поверхность шара) в единицах измерения площади.

Обозначения

R — радиус шара;

D — диаметр шара;

S_сф — площадь сферы.

Формула

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle S_{\text{сф}}=4\pi R^{2}\Leftrightarrow S_{\text{сф}}={\frac {3}{R}}V_{\text{сф}},\ V_{\text{шар}}={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\Leftrightarrow S_{\text{сф}}=\pi D^{2},\ D=2R}

Вывод формулы

По формуле для фигуры вращения:

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle S_{\text{сф}}=2\pi \int \limits _{-R}^{R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}{\sqrt {1+\left({\sqrt {R^{2}-x^{2}}}^{{\text{ }}'}\right)^{2}}}dx=2\pi \int \limits _{-R}^{R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}{\sqrt {1+\left({\frac {-x}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}\right)^{2}}}dx=}

$=2\pi \int \limits _{-R}^{R}Rdx=4\pi R\int \limits _{0}^{R}1dx=\left.4\pi Rx\right|_{0}^{R}=4\pi R^{2}\Rightarrow S_{\text{сф}}=4\pi R^{2}$

Другие формулы

1. фигура вращения;
2. шар;
3. цилиндр;
4. конус;
5. усечённый цилиндр;
6. усечённый конус;
7. шаровой сегмент;
8. шаровой сектор;
9. шаровой слой;
10. шаровой клин;
11. центральный шаровой клин;
12. торовый клин;
13. цилиндрическая труба;
14. цилиндрическое копыто;
15. конусное копыто;
16. шаровое копыто;
17. шаровая бочка;
18. круговая бочка;
19. сегментное кольцо;
20. тор;
21. кокон;
22. купол;
23. сфероид;
24. параболоид вращения.

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.177.