Площадь поверхности шарового слоя

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Шаровой слой
Вывод формулы

Площадь поверхности шарового слоя — это сумма боковой площади шарового слоя и площадей оснований шарового слоя.

Под шаровым слоем будем подразумевать часть шара, ограниченную двумя параллельными плоскостями (кругами).

Обозначения[править]

Введём обозначения:

R — радиус шара;

r1 — радиус верхнего основания шарового слоя и меньшего шарового сегмента;

r2 — радиус нижнего основания шарового слоя и большего шарового сегмента;

h — высота шарового слоя;

h1 — высота меньшего шарового сегмента;

h2 — высота большего шарового сегмента;

Sбок.шар.слой — площадь боковой поверхности шарового слоя;

Sосн.r1сегм — площадь основания меньшего шарового сегмента;

Sосн.r2сегм — площадь основания большего шарового сегмента;

Sшар.слой — площадь поверхности шарового слоя.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ S_\text{шар.слой}=\pi\left(r_1^2+r_2^2+2Rh\right), \ h=h_2-h_1 \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_\text{шар.слой}=S_\text{бок}+S_{r_1\text{осн}}+S_{r_2\text{осн}}, \ S_\text{бок}=2\pi Rh, \ S_{r_1\text{осн}}=\pi r_1^2, \ S_{r_2\text{осн}}=\pi r_2^2 }[/math]
  • Заметим, что площадь боковой поверхности шарового слоя зависит от высоты слоя и радиуса шара и не зависит от радиусов оснований слоя. Соответственно, площадь боковой поверхности шарового слоя определённой высоты равна площади боковой поверхности шарового сегмента такой же высоты и радиуса шара.

Вывод формулы[править]

[math]\displaystyle{ S_\text{бок.шар.слой}=2\pi\int\limits_{R-h_2}^{R-h_1}\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\left(\sqrt{R^2-x^2}'\right)^2}dx= }[/math]
[math]\displaystyle{ =2\pi\int\limits_{R-h_2}^{R-h_1}\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}}\right)^2}dx=2\pi\int\limits_{R-h_2}^{R-h_1}Rdx=2\pi R\int\limits_{R-h_2}^{R-h_1}1dx= }[/math]
[math]\displaystyle{ \left.2\pi Rx\right|_{R-h_2}^{R-h_1}=2\pi R(h_2-h_1)=2\pi Rh \Rightarrow S_\text{бок.шар.слой}=2\pi Rh }[/math]

См. также[править]

Другие формулы[править]

Литература[править]

  • Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.177.