Площадь поверхности шарового слоя

Шаровой слой

Формула

Площадь поверхности шарового слоя — это сумма боковой площади шарового слоя и площадей оснований шарового слоя.

Под шаровым слоем будем подразумевать часть шара, ограниченную двумя параллельными плоскостями (кругами).

Обозначения[править]

R — радиус шара;

r₁ — радиус верхнего основания шарового слоя и меньшего шарового сегмента;

r₂ — радиус нижнего основания шарового слоя и большего шарового сегмента;

h — высота шарового слоя;

h₁ — высота меньшего шарового сегмента;

h₂ — высота большего шарового сегмента;

S_{бок.шар.слой} — площадь боковой поверхности шарового слоя;

S_{осн.r₁сегм} — площадь основания меньшего шарового сегмента;

S_{осн.r₂сегм} — площадь основания большего шарового сегмента;

S_{шар.слой} — площадь поверхности шарового слоя.

S_{\text{шар.слой}}=\pi \left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+2Rh\right),\ h=h_{2}-h_{1}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow S_{\text{шар.слой}}=S_{\text{бок}}+S_{r_{1}{\text{осн}}}+S_{r_{2}{\text{осн}}},\ S_{\text{бок}}=2\pi Rh,\ S_{r_{1}{\text{осн}}}=\pi r_{1}^{2},\ S_{r_{2}{\text{осн}}}=\pi r_{2}^{2}

Заметим, что площадь боковой поверхности шарового слоя зависит от высоты слоя и радиуса шара и не зависит от радиусов оснований слоя. Соответственно, площадь боковой поверхности шарового слоя определённой высоты равна площади боковой поверхности шарового сегмента такой же высоты и радиуса шара.

S_{\text{бок.шар.слой}}=2\pi \int \limits _{R-h_{2}}^{R-h_{1}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}{\sqrt {1+\left({\sqrt {R^{2}-x^{2}}}'\right)^{2}}}dx=

=2\pi \int \limits _{R-h_{2}}^{R-h_{1}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}{\sqrt {1+\left({\frac {-x}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}\right)^{2}}}dx=2\pi \int \limits _{R-h_{2}}^{R-h_{1}}Rdx=2\pi R\int \limits _{R-h_{2}}^{R-h_{1}}1dx=

=\left.2\pi Rx\right|_{R-h_{2}}^{R-h_{1}}=2\pi R(h_{2}-h_{1})=2\pi Rh\Rightarrow S_{\text{бок.шар.слой}}=2\pi Rh