Площадь поверхности шарового слоя
Площадь поверхности шарового слоя — это сумма боковой площади шарового слоя и площадей оснований шарового слоя.
Под шаровым слоем будем подразумевать часть шара, ограниченную двумя параллельными плоскостями (кругами).
Обозначения[править]
Введём обозначения:
R — радиус шара;
r1 — радиус верхнего основания шарового слоя и меньшего шарового сегмента;
r2 — радиус нижнего основания шарового слоя и большего шарового сегмента;
h — высота шарового слоя;
h1 — высота меньшего шарового сегмента;
h2 — высота большего шарового сегмента;
Sбок.шар.слой — площадь боковой поверхности шарового слоя;
Sосн.r1сегм — площадь основания меньшего шарового сегмента;
Sосн.r2сегм — площадь основания большего шарового сегмента;
Sшар.слой — площадь поверхности шарового слоя.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ S_\text{шар.слой}=\pi\left(r_1^2+r_2^2+2Rh\right), \ h=h_2-h_1 \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_\text{шар.слой}=S_\text{бок}+S_{r_1\text{осн}}+S_{r_2\text{осн}}, \ S_\text{бок}=2\pi Rh, \ S_{r_1\text{осн}}=\pi r_1^2, \ S_{r_2\text{осн}}=\pi r_2^2 }[/math]
- Заметим, что площадь боковой поверхности шарового слоя зависит от высоты слоя и радиуса шара и не зависит от радиусов оснований слоя. Соответственно, площадь боковой поверхности шарового слоя определённой высоты равна площади боковой поверхности шарового сегмента такой же высоты и радиуса шара.
Вывод формулы[править]
- [math]\displaystyle{ S_\text{бок.шар.слой}=2\pi\int\limits_{R-h_2}^{R-h_1}\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\left(\sqrt{R^2-x^2}'\right)^2}dx= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =2\pi\int\limits_{R-h_2}^{R-h_1}\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}}\right)^2}dx=2\pi\int\limits_{R-h_2}^{R-h_1}Rdx=2\pi R\int\limits_{R-h_2}^{R-h_1}1dx= }[/math]
- [math]\displaystyle{ \left.2\pi Rx\right|_{R-h_2}^{R-h_1}=2\pi R(h_2-h_1)=2\pi Rh \Rightarrow S_\text{бок.шар.слой}=2\pi Rh }[/math]
См. также[править]
Другие формулы[править]
- площадь поверхности фигуры вращения;
- площадь сферы;
- площадь поверхности цилиндра;
- площадь поверхности конуса;
- площадь поверхности усечённого цилиндра;
- площадь поверхности усечённого конуса;
- площадь поверхности шарового сегмента;
- площадь поверхности шарового сектора;
- площадь поверхности шарового слоя;
- площадь поверхности шарового клина;
- площадь поверхности цилиндрической трубы;
- площадь поверхности цилиндрического копыта;
- площадь поверхности конусного копыта;
- площадь поверхности шаровой бочки;
- площадь поверхности круговой бочки;
- площадь тора;
- площадь кокона;
- площадь поверхности купола;
- площадь сфероида.
Литература[править]
- Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.177.