Площадь поверхности шарового слоя

Шаровой слой

Вывод формулы

Площадь поверхности шарового слоя — это сумма боковой площади шарового слоя и площадей оснований шарового слоя.

Под шаровым слоем будем подразумевать часть шара, ограниченную двумя параллельными плоскостями (кругами).

Обозначения

Введём обозначения:

R — радиус шара;

r₁ — радиус верхнего основания шарового слоя и меньшего шарового сегмента;

r₂ — радиус нижнего основания шарового слоя и большего шарового сегмента;

h — высота шарового слоя;

h₁ — высота меньшего шарового сегмента;

h₂ — высота большего шарового сегмента;

S_{бок.шар.слой} — площадь боковой поверхности шарового слоя;

S_{осн.r1сегм} — площадь основания меньшего шарового сегмента;

S_{осн.r2сегм} — площадь основания большего шарового сегмента;

S_{шар.слой} — площадь поверхности шарового слоя.

Формула

[math]\displaystyle{ S_\text{шар.слой}=\pi\left(r_1^2+r_2^2+2Rh\right), \ h=h_2-h_1 \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow S_\text{шар.слой}=S_\text{бок}+S_{r_1\text{осн}}+S_{r_2\text{осн}}, \ S_\text{бок}=2\pi Rh, \ S_{r_1\text{осн}}=\pi r_1^2, \ S_{r_2\text{осн}}=\pi r_2^2 }[/math]

• Заметим, что площадь боковой поверхности шарового слоя зависит от высоты слоя и радиуса шара и не зависит от радиусов оснований слоя. Соответственно, площадь боковой поверхности шарового слоя определённой высоты равна площади боковой поверхности шарового сегмента такой же высоты и радиуса шара.

Вывод формулы

[math]\displaystyle{ S_\text{бок.шар.слой}=2\pi\int\limits_{R-h_2}^{R-h_1}\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\left(\sqrt{R^2-x^2}'\right)^2}dx= }[/math]

[math]\displaystyle{ =2\pi\int\limits_{R-h_2}^{R-h_1}\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}}\right)^2}dx=2\pi\int\limits_{R-h_2}^{R-h_1}Rdx=2\pi R\int\limits_{R-h_2}^{R-h_1}1dx= }[/math]

[math]\displaystyle{ \left.2\pi Rx\right|_{R-h_2}^{R-h_1}=2\pi R(h_2-h_1)=2\pi Rh \Rightarrow S_\text{бок.шар.слой}=2\pi Rh }[/math]

См. также

• Объём шарового слоя

Другие формулы

• площадь поверхности фигуры вращения;
• площадь сферы;
• площадь поверхности цилиндра;
• площадь поверхности конуса;
• площадь поверхности усечённого цилиндра;
• площадь поверхности усечённого конуса;
• площадь поверхности шарового сегмента;
• площадь поверхности шарового сектора;
• площадь поверхности шарового слоя;
• площадь поверхности шарового клина;
• площадь поверхности цилиндрической трубы;
• площадь поверхности цилиндрического копыта;
• площадь поверхности конусного копыта;
• площадь поверхности шаровой бочки;
• площадь поверхности круговой бочки;
• площадь тора;
• площадь кокона;
• площадь поверхности купола;
• площадь сфероида.

Литература

• Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.177.