Площадь поверхности фигуры вращения

Нахождение площади поверхности вращения тела // bezbotvy [2:12]

Лекция 23.Вычисление площади поверхности вращения // NWTU [4:09]

Поверхность, полученная вращением кривой x=2+cos z вокруг оси z

Площадь поверхности фигуры вращения — это сумма площади боковой поверхности фигуры, образованной вращением образующей, и площади оснований (при наличии оснований).

Формулы

Всюду подразумевается, что:

1. нижний предел интегрирования не превышает верхний (что по контексту очевидно);
2. функция, стоящая перед корнем, — неотрицательное число. Потому, что представляет собой радиус какого-либо сечения, поперечного относительно оси вращения.

Формула 1

Площадь поверхности, образованной вращением кривой y=f(x) вокруг оси OX:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{\text{бок. фиг. вращ }OX}=2\pi\int\limits_{x_1}^{x_2}f(x)\sqrt{1+\left[f'_x(x)\right]^2}dx \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{\text{бок. фиг. вращ }OX}=2\pi\int\limits_{x_1}^{x_2}y\sqrt{1+\left(y'_x\right)^2}dx}

Формула 2

Площадь поверхности, образованной вращением кривой x=f(y) вокруг оси OY:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{\text{бок. фиг. вращ }OY}=2\pi\int\limits_{y_1}^{y_2}f(y)\sqrt{1+\left[f'_y(y)\right]^2}dy \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{\text{бок. фиг. вращ }OY}=2\pi\int\limits_{y_1}^{y_2}x\sqrt{1+\left(x'_y\right)^2}dy}

Формула 3

Площадь поверхности, образованной вращением кривой (f(t),g(t)), заданной через параметр t, вокруг оси OX:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{\text{бок. пар. фиг. вращ }OX}=2\pi\int\limits_{t_1}^{t_2}g(t)\sqrt{[f'_t(t)]^2 + [g'_t(t)]^2}\text{d}t\Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{\text{бок. пар. фиг. вращ }OX}=2\pi\int\limits_{t_1}^{t_2}y\sqrt{(x'_t)^2 + (y'_t)^2}\text{d}t}

Примеры фигур вращения

1. фигура вращения;
2. шар;
3. цилиндр;
4. конус;
5. усечённый цилиндр;
6. усечённый конус;
7. шаровой сегмент;
8. шаровой сектор;
9. шаровой слой;
10. шаровой клин;
11. центральный шаровой клин;
12. торовый клин;
13. цилиндрическая труба;
14. цилиндрическое копыто;
15. конусное копыто;
16. шаровое копыто;
17. шаровая бочка;
18. круговая бочка;
19. сегментное кольцо;
20. тор;
21. кокон;
22. купол;
23. сфероид;
24. параболоид вращения.

См. также

• Объём фигуры вращения

Другие формулы:

1. многоугольник;
2. правильный многоугольник;
3. криволинейный многоугольник;
4. плоская фигура;
5. многогранник;
6. правильный многогранник;
7. поверхность;
8. фигура вращения.

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.395.