Площадь поверхности фигуры вращения

Нахождение площади поверхности вращения тела // bezbotvy [2:12]

Лекция 23.Вычисление площади поверхности вращения // NWTU [4:09]

Поверхность, полученная вращением кривой x=2+cos z вокруг оси z

Площадь поверхности фигуры вращения — это сумма площади боковой поверхности фигуры, образованной вращением образующей, и площади оснований (при наличии оснований).

Формулы

Всюду подразумевается, что:

1. нижний предел интегрирования не превышает верхний (что по контексту очевидно);
2. функция, стоящая перед корнем, — неотрицательное число. Потому, что представляет собой радиус какого-либо сечения, поперечного относительно оси вращения.

Формула 1

Площадь поверхности, образованной вращением кривой y=f(x) вокруг оси OX:

$S_{{\text{бок. фиг. вращ }}OX}=2\pi \int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}f(x){\sqrt {1+\left[f'_{x}(x)\right]^{2}}}dx\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{{\text{бок. фиг. вращ }}OX}=2\pi \int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}y{\sqrt {1+\left(y'_{x}\right)^{2}}}dx$

Формула 2

Площадь поверхности, образованной вращением кривой x=f(y) вокруг оси OY:

$S_{{\text{бок. фиг. вращ }}OY}=2\pi \int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}f(y){\sqrt {1+\left[f'_{y}(y)\right]^{2}}}dy\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{{\text{бок. фиг. вращ }}OY}=2\pi \int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}x{\sqrt {1+\left(x'_{y}\right)^{2}}}dy$

Формула 3

Площадь поверхности, образованной вращением кривой (f(t),g(t)), заданной через параметр t, вокруг оси OX:

$S_{{\text{бок. пар. фиг. вращ }}OX}=2\pi \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}g(t){\sqrt {[f'_{t}(t)]^{2}+[g'_{t}(t)]^{2}}}{\text{d}}t\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{{\text{бок. пар. фиг. вращ }}OX}=2\pi \int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}y{\sqrt {(x'_{t})^{2}+(y'_{t})^{2}}}{\text{d}}t$

Примеры фигур вращения

• фигура вращения;
• шар;
• цилиндр;
• конус;
• усечённый цилиндр;
• усечённый конус;
• шаровой сегмент;
• шаровой сектор;
• шаровой слой;
• шаровой клин;
• центральный шаровой клин;
• торовый клин;
• цилиндрическая труба;
• цилиндрическое копыто;
• конусное копыто;
• шаровое копыто;
• шаровая бочка;
• круговая бочка;
• сегментное кольцо;
• тор;
• кокон;
• купол;
• сфероид;
• параболоид.

См. также

• Объём фигуры вращения

Другие формулы:

• площадь многоугольника;
• площадь правильного многоугольника;
• площадь криволинейного многоугольника;
• площадь плоской фигуры;
• площадь многогранника;
• площадь правильного многогранника;
• площадь поверхности;
• площадь поверхности фигуры вращения.

Литература

• Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.395.