Площадь правильного n-угольника

1007. Площадь правильного n-угольника // Интернет-лицей ТПУ [0:53]

Математика. Урок 10. Площадь правильного многоугольника // novykrug [4:34]

Площадь правильного n-угольника — это число, характеризующее правильный n-угольник в единицах измерения площади.

Правильный n-угольник — это n-угольник, у которого все стороны и углы равны.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

a — длина стороны;

n — число сторон;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α = π/n;

P_n — периметр правильного n-угольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S_n — площадь правильного n-угольника.

S_{n}={\frac {na^{2}}{4}}ctg{\frac {\pi }{n}}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow S_{n}=nS_{\triangle },\ S_{\triangle }={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\pi }{n}}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow S_{n}={\frac {1}{2}}P_{n}r,\ P_{n}=na,\ r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\pi }{n}}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow S_{n}=nR^{2}\sin {\frac {\pi }{n}}\cos {\frac {\pi }{n}},\ R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow S_{n}=nr^{2}tg{\frac {\pi }{n}},\ r=R\cos {\frac {\pi }{n}}