Площадь плоской фигуры

Видеоурок по математике "Вычисление площади фигуры" // Математика от alwebra.com.ua [4:30]

Лекция 19.Вычисление площади плоской фигуры // NWTU [7:58]

Площадь плоской фигуры — это действительное число, характеризующее плоскую фигуру в единицах измерения площади.

Формулы

Прямоугольная система координат

Площадь плоской фигуры, заданной неравенством f(x, y) ≤ 0, считается по формулам:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_\text{фиг}=\iint\limits_{f(x,y) \ge 0}1dxdy \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx\int\limits_{y_1(x)}^{y_2(x)}1dy \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\left.y\right|_{y_1(x)}^{y_2(x)}dx \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{x_1}^{x_2} \left[y_2(x)-y_1(x)\right]dx \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{y_1}^{y_2}dy\int\limits_{x_1(y)}^{x_2(y)}1dx \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{y_1}^{y_2}x\left.\right|_{x_1(y)}^{x_2(y)}dy \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{y_1}^{y_2} \left[x_2(y)-x_1(y)\right]dy}

Полярная система координат

Площадь плоской фигуры, заданной неравенством f(rcosφ, rsinφ) ≤ 0, считается по формулам:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_\text{фиг}=\iint\limits_{f(r\cos\varphi,r\sin\varphi) \le 0} drd\varphi \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}d\varphi\int\limits_{r_1(\varphi)}^{r_2(\varphi)}rdr \Leftrightarrow }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\left.r^2\right|_{r_1(\varphi)}^{r_2(\varphi)}d\varphi \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2} \left[r_2^2(\varphi)-r_1^2(\varphi)\right]d\varphi}

Параметрически заданная фигура

Площадь плоской фигуры, заданной неравенством f(x(t), y(t)) ≤ 0 или системой неравенств, считается по формулам:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_\text{фиг}=\int\limits_{f(x(t),y(t)) \le 0}y(t)x'_t(t)dt \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{t_1}^{t_2}y(t)x'_t(t)dt \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_\text{фиг}=\int\limits_{f(x(t),y(t)) \le 0}x(t)y'_t(t)dt \Leftrightarrow S_\text{фиг}=\int\limits_{t_1}^{t_2}x(t)y'_t(t)dt}

Плоские фигуры:

1. треугольник;
2. четырёхугольник;
3. круг;
4. сегмент круга;
5. сектор круга;
6. серп;
7. эллипс;
8. сегмент эллипса;
9. сектор эллипса;
10. серп эллипса;
11. сегмент параболы;
12. сегмент гиперболы;
13. сектор кардиоиды;
14. сектор лемнискаты Бернулли;
15. правильный многоугольник;
16. сегмент правильного многоугольника;
17. сектор правильного многоугольника;
18. арка циклоиды;
19. сектор кардиоиды;
20. сектор лемнискаты Бернулли.
21. арка синусоиды;
22. арка косинусоиды;
23. фигура, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
24. фигура, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
25. треугольник Рёло;
26. пятиугольник Рёло;
27. многоугольник Рёло;
28. общая плоская фигура.

Другие формулы:

1. многоугольник;
2. правильный многоугольник;
3. криволинейный многоугольник;
4. плоская фигура;
5. многогранник;
6. правильный многогранник;
7. поверхность;
8. фигура вращения.

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.428.