Площадь плоской фигуры

Видеоурок по математике "Вычисление площади фигуры" // Математика от alwebra.com.ua [4:30]

Лекция 19.Вычисление площади плоской фигуры // NWTU [7:58]

Площадь плоской фигуры — это действительное число, характеризующее плоскую фигуру в единицах измерения площади.

Формулы

Прямоугольная система координат

Площадь плоской фигуры, заданной неравенством f(x, y) ≤ 0, считается по формулам:

$S_{\text{фиг}}=\iint \limits _{f(x,y)\geq 0}1dxdy\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}dx\int \limits _{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}1dy\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}\left.y\right|_{y_{1}(x)}^{y_{2}(x)}dx\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}\left[y_{2}(x)-y_{1}(x)\right]dx\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}dy\int \limits _{x_{1}(y)}^{x_{2}(y)}1dx\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}x\left.\right|_{x_{1}(y)}^{x_{2}(y)}dy\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}\left[x_{2}(y)-x_{1}(y)\right]dy$

Полярная система координат

Площадь плоской фигуры, заданной неравенством f(rcosφ, rsinφ) ≤ 0, считается по формулам:

$S_{\text{фиг}}=\iint \limits _{f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\leq 0}drd\varphi \Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}d\varphi \int \limits _{r_{1}(\varphi )}^{r_{2}(\varphi )}rdr\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}={\frac {1}{2}}\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\left.r^{2}\right|_{r_{1}(\varphi )}^{r_{2}(\varphi )}d\varphi \Leftrightarrow S_{\text{фиг}}={\frac {1}{2}}\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\left[r_{2}^{2}(\varphi )-r_{1}^{2}(\varphi )\right]d\varphi$

Параметрически заданная фигура

Площадь плоской фигуры, заданной неравенством f(x(t), y(t)) ≤ 0 или системой неравенств, считается по формулам:

$S_{\text{фиг}}=\int \limits _{f(x(t),y(t))\leq 0}y(t)x'_{t}(t)dt\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}y(t)x'_{t}(t)dt\Leftrightarrow$

$S_{\text{фиг}}=\int \limits _{f(x(t),y(t))\leq 0}x(t)y'_{t}(t)dt\Leftrightarrow S_{\text{фиг}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}x(t)y'_{t}(t)dt$

Плоские фигуры:

1. треугольник;
2. четырёхугольник;
3. круг;
4. сегмент круга;
5. сектор круга;
6. серп;
7. эллипс;
8. сегмент эллипса;
9. сектор эллипса;
10. серп эллипса;
11. сегмент параболы;
12. сегмент гиперболы;
13. сектор кардиоиды;
14. сектор лемнискаты Бернулли;
15. правильный многоугольник;
16. сегмент правильного многоугольника;
17. сектор правильного многоугольника;
18. арка циклоиды;
19. сектор кардиоиды;
20. сектор лемнискаты Бернулли.
21. арка синусоиды;
22. арка косинусоиды;
23. фигура, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
24. фигура, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
25. треугольник Рёло;
26. пятиугольник Рёло;
27. многоугольник Рёло;
28. общая плоская фигура.

Другие формулы:

1. многоугольник;
2. правильный многоугольник;
3. криволинейный многоугольник;
4. плоская фигура;
5. многогранник;
6. правильный многогранник;
7. поверхность;
8. фигура вращения.

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.428.