Площадь сектора лемнискаты Бернулли

Лемниската Бернулли

Формула

Площадь сектора лемнискаты Бернулли — это число, характеризующее сектор лемнискаты Бернулли в единицах измерения площади.

Сектор лемнискаты Бернулли — это часть лемнискаты Бернулли, отсекаемая двумя прямыми (радиусами), проходящими через центр симметрии.

Рассмотрим секторы лемнискаты Бернулли, отсекаемые двумя прямыми, проходящими через центр симметрии в первом квадранте.

Обозначения

Введём обозначения:

F₁ — правый фокус;

F₂ — левый фокус;

c — половина расстояния между фокусами;

(x² + y²)² = 2c²(x² − y²) — уравнение лемнискаты Бернулли;

φ₁ — угол (меньший) первой точки сектора;

φ₂ — угол (больший) второй точки сектора;

φ — независимая переменная;

r² = 2c²cos2φ — уравнение лемнискаты Бернулли в полярных координатах;

S_{сект.лемн} — площадь сектора лемнискаты Бернулли.

Формулы

[math]\displaystyle{ S_{сект.лемн}=\frac{1}{2}c^2(\sin 2\varphi_2-\sin 2\varphi_1), \ -\frac{\pi}{4} \le \varphi_1 \le \varphi_2 \le \frac{\pi}{4} }[/math]

• Площадь лемнискаты Бернулли (из двух лепестков) равна S_лемн = 2с².

Вывод формул

[math]\displaystyle{ S_{сект.лемн}=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}r^2d\varphi=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}2c^2\cos 2\varphi d\varphi=\frac{1}{2}c^2\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\cos 2\varphi d2\varphi= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left.\frac{1}{2}c^2\sin 2\varphi\right|_{\varphi_1}^{\varphi_2}=\frac{1}{2}c^2(\sin 2\varphi_2-\sin 2\varphi_1) \Rightarrow S_{сект.лемн}=\frac{1}{2}c^2(\sin 2\varphi_2-\sin 2\varphi_1) }[/math]

• Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в полярных координатах.

См. также

• Длина дуги лемнискаты Бернулли

Другие формулы

• площадь плоской фигуры;
• площадь круга;
• площадь сегмента круга;
• площадь сектора круга;
• площадь серпа;
• площадь эллипса;
• площадь сегмента эллипса;
• площадь сектора эллипса;
• площадь серпа эллипса;
• площадь сегмента параболы;
• площадь сегмента гиперболы;
• площадь сектора кардиоиды;
• площадь сектора лемнискаты Бернулли;
• площадь сегмента правильного многоугольника;
• площадь сектора правильного многоугольника;
• площадь арки синусоиды;
• площадь арки косинусоиды;
• площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
• площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
• площадь арки циклоиды;
• площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
• площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс.