Площадь сектора лемнискаты Бернулли
Площадь сектора лемнискаты Бернулли — это число, характеризующее сектор лемнискаты Бернулли в единицах измерения площади.
Сектор лемнискаты Бернулли — это часть лемнискаты Бернулли, отсекаемая двумя прямыми (радиусами), проходящими через центр симметрии.
Рассмотрим секторы лемнискаты Бернулли, отсекаемые двумя прямыми, проходящими через центр симметрии в первом квадранте.
Обозначения[править]
Введём обозначения:
F1 — правый фокус;
F2 — левый фокус;
c — половина расстояния между фокусами;
(x2 + y2)2 = 2c2(x2 − y2) — уравнение лемнискаты Бернулли;
φ1 — угол (меньший) первой точки сектора;
φ2 — угол (больший) второй точки сектора;
φ — независимая переменная;
r2 = 2c2cos2φ — уравнение лемнискаты Бернулли в полярных координатах;
Sсект.лемн — площадь сектора лемнискаты Бернулли.
Формулы[править]
- [math]\displaystyle{ S_{сект.лемн}=\frac{1}{2}c^2(\sin 2\varphi_2-\sin 2\varphi_1), \ -\frac{\pi}{4} \le \varphi_1 \le \varphi_2 \le \frac{\pi}{4} }[/math]
- Площадь лемнискаты Бернулли (из двух лепестков) равна Sлемн = 2с2.
Вывод формул[править]
- [math]\displaystyle{ S_{сект.лемн}=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}r^2d\varphi=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}2c^2\cos 2\varphi d\varphi=\frac{1}{2}c^2\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\cos 2\varphi d2\varphi= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left.\frac{1}{2}c^2\sin 2\varphi\right|_{\varphi_1}^{\varphi_2}=\frac{1}{2}c^2(\sin 2\varphi_2-\sin 2\varphi_1) \Rightarrow S_{сект.лемн}=\frac{1}{2}c^2(\sin 2\varphi_2-\sin 2\varphi_1) }[/math]
- Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в полярных координатах.
См. также[править]
Другие формулы[править]
- площадь плоской фигуры;
- площадь круга;
- площадь сегмента круга;
- площадь сектора круга;
- площадь серпа;
- площадь эллипса;
- площадь сегмента эллипса;
- площадь сектора эллипса;
- площадь серпа эллипса;
- площадь сегмента параболы;
- площадь сегмента гиперболы;
- площадь сектора кардиоиды;
- площадь сектора лемнискаты Бернулли;
- площадь сегмента правильного многоугольника;
- площадь сектора правильного многоугольника;
- площадь арки синусоиды;
- площадь арки косинусоиды;
- площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
- площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
- площадь арки циклоиды;
- площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
- площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс.