Площадь сектора лемнискаты Бернулли

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Лемниската Бернулли
Формула

Площадь сектора лемнискаты Бернулли — это число, характеризующее сектор лемнискаты Бернулли в единицах измерения площади.

Сектор лемнискаты Бернулли — это часть лемнискаты Бернулли, отсекаемая двумя прямыми (радиусами), проходящими через центр симметрии.

Рассмотрим секторы лемнискаты Бернулли, отсекаемые двумя прямыми, проходящими через центр симметрии в первом квадранте.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

F1 — правый фокус;

F2 — левый фокус;

c — половина расстояния между фокусами;

(x2 + y2)2 = 2c2(x2 − y2) — уравнение лемнискаты Бернулли;

φ1 — угол (меньший) первой точки сектора;

φ2 — угол (больший) второй точки сектора;

φ — независимая переменная;

r2 = 2c2cos2φ — уравнение лемнискаты Бернулли в полярных координатах;

Sсект.лемн — площадь сектора лемнискаты Бернулли.

Формулы[править]

[math]\displaystyle{ S_{сект.лемн}=\frac{1}{2}c^2(\sin 2\varphi_2-\sin 2\varphi_1), \ -\frac{\pi}{4} \le \varphi_1 \le \varphi_2 \le \frac{\pi}{4} }[/math]
  • Площадь лемнискаты Бернулли (из двух лепестков) равна Sлемн = 2с2.

Вывод формул[править]

[math]\displaystyle{ S_{сект.лемн}=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}r^2d\varphi=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}2c^2\cos 2\varphi d\varphi=\frac{1}{2}c^2\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\cos 2\varphi d2\varphi= }[/math]
[math]\displaystyle{ =\left.\frac{1}{2}c^2\sin 2\varphi\right|_{\varphi_1}^{\varphi_2}=\frac{1}{2}c^2(\sin 2\varphi_2-\sin 2\varphi_1) \Rightarrow S_{сект.лемн}=\frac{1}{2}c^2(\sin 2\varphi_2-\sin 2\varphi_1) }[/math]

См. также[править]

Другие формулы[править]