Площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс

Цепная линия

Формула

Площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс, — это число, характеризующее область под цепной линией в пределах −∞ < x₁ ≤ x₂ < ∞ в единицах измерения площади.

Цепная линия (висящая цепь) — это линия, образуемая гибкой тяжёлой нерастяжимой нитью (цепью), подвешенной в двух точках. График цепной линии имеет вид графика гиперболического косинуса.

Рассмотрим дуги цепной линии, с вершиной в точке (0, R).

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса (меньшая) первой (левой) точки;

x₂ — абсцисса (большая) второй (правой) точки;

M = (x, y) — точка цепной линии;

M₀ = (0, R) — вершина цепной линии;

y = Rch(x/R) — уравнение цепной линии;

S_{цеп.лин} — площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс при −∞ < x₁ ≤ x₂ < ∞.

Формула

[math]\displaystyle{ S_\text{цеп.лин}=R^2sh\frac{x_2}{R}-R^2sh\frac{x_1}{R}, \ -\infty \lt x_1 \le x_2 \lt \infty }[/math]

• Площадь, ограниченная дугой цепной линии M₀M и осью абсцисс, равна S_x = R²sh(x/R).

Вывод формулы

[math]\displaystyle{ S_\text{цеп.лин}=\iint\limits_{\cases{x_1 \le x \le x_2 \\ 0 \le y \le ch\frac{x}{R}}}1dxdy=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx \int\limits_0^{Rch\frac{x}{R}}1dy = \int\limits_{x_1}^{x_2}\left.y\right|_0^{Rch\frac{x}{R}}dx = \int\limits_{x_1}^{x_2}Rch\frac{x}{R}dx = R^2\int\limits_{x_1}^{x_2}ch\frac{x}{R}d\frac{x}{R}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\left.R^2sh\frac{x}{R}\right|_{x_1}^{x_2}=R^2sh\frac{x_2}{R}-R^2sh\frac{x_1}{R} \Rightarrow S_\text{цеп.лин}=R^2sh\frac{x_2}{R}-R^2sh\frac{x_1}{R} }[/math]

• Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в прямоугольных координатах.

См. также

• Длина дуги цепной линии

Другие формулы

• площадь плоской фигуры;
• площадь круга;
• площадь сегмента круга;
• площадь сектора круга;
• площадь серпа;
• площадь эллипса;
• площадь сегмента эллипса;
• площадь сектора эллипса;
• площадь серпа эллипса;
• площадь сегмента параболы;
• площадь сегмента гиперболы;
• площадь сектора кардиоиды;
• площадь сектора лемнискаты Бернулли;
• площадь сегмента правильного многоугольника;
• площадь сектора правильного многоугольника;
• площадь арки синусоиды;
• площадь арки косинусоиды;
• площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
• площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
• площадь арки циклоиды;
• площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
• площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс.