Площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Цепная линия
Формула

Площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс, — это число, характеризующее область под цепной линией в пределах −∞ < x1 ≤ x2 < ∞ в единицах измерения площади.

Цепная линия (висящая цепь) — это линия, образуемая гибкой тяжёлой нерастяжимой нитью (цепью), подвешенной в двух точках. График цепной линии имеет вид графика гиперболического косинуса.

Рассмотрим дуги цепной линии, с вершиной в точке (0, R).

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x1 — абсцисса (меньшая) первой (левой) точки;

x2 — абсцисса (большая) второй (правой) точки;

M = (x, y) — точка цепной линии;

M0 = (0, R) — вершина цепной линии;

y = Rch(x/R) — уравнение цепной линии;

Sцеп.лин — площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс при −∞ < x1 ≤ x2 < ∞.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ S_\text{цеп.лин}=R^2sh\frac{x_2}{R}-R^2sh\frac{x_1}{R}, \ -\infty \lt x_1 \le x_2 \lt \infty }[/math]
  • Площадь, ограниченная дугой цепной линии M0M и осью абсцисс, равна Sx = R2sh(x/R).

Вывод формулы[править]

[math]\displaystyle{ S_\text{цеп.лин}=\iint\limits_{\cases{x_1 \le x \le x_2 \\ 0 \le y \le ch\frac{x}{R}}}1dxdy=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx \int\limits_0^{Rch\frac{x}{R}}1dy = \int\limits_{x_1}^{x_2}\left.y\right|_0^{Rch\frac{x}{R}}dx = \int\limits_{x_1}^{x_2}Rch\frac{x}{R}dx = R^2\int\limits_{x_1}^{x_2}ch\frac{x}{R}d\frac{x}{R}= }[/math]
[math]\displaystyle{ =\left.R^2sh\frac{x}{R}\right|_{x_1}^{x_2}=R^2sh\frac{x_2}{R}-R^2sh\frac{x_1}{R} \Rightarrow S_\text{цеп.лин}=R^2sh\frac{x_2}{R}-R^2sh\frac{x_1}{R} }[/math]

См. также[править]

Другие формулы[править]