Площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс

Цепная линия

Формула

Площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс, — это число, характеризующее область под цепной линией в пределах −∞ < x₁ ≤ x₂ < ∞ в единицах измерения площади.

Цепная линия (висящая цепь) — это линия, образуемая гибкой тяжёлой нерастяжимой нитью (цепью), подвешенной в двух точках. График цепной линии имеет вид графика гиперболического косинуса.

Рассмотрим дуги цепной линии, с вершиной в точке (0, R).

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса (меньшая) первой (левой) точки;

x₂ — абсцисса (большая) второй (правой) точки;

M = (x, y) — точка цепной линии;

M₀ = (0, R) — вершина цепной линии;

y = Rch(x/R) — уравнение цепной линии;

S_{цеп.лин} — площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс при −∞ < x₁ ≤ x₂ < ∞.

Формула

$S_{\text{цеп.лин}}=R^{2}sh{\frac {x_{2}}{R}}-R^{2}sh{\frac {x_{1}}{R}},\ -\infty <x_{1}\leq x_{2}<\infty$

• Площадь, ограниченная дугой цепной линии M₀M и осью абсцисс, равна S_x = R²sh(x/R).

Вывод формулы

$S_{\text{цеп.лин}}=\iint \limits _{\begin{cases}x_{1}\leq x\leq x_{2}\\0\leq y\leq ch{\frac {x}{R}}\end{cases}}1dxdy=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}dx\int \limits _{0}^{Rch{\frac {x}{R}}}1dy=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}\left.y\right|_{0}^{Rch{\frac {x}{R}}}dx=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}Rch{\frac {x}{R}}dx=R^{2}\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}ch{\frac {x}{R}}d{\frac {x}{R}}=$

$=\left.R^{2}sh{\frac {x}{R}}\right|_{x_{1}}^{x_{2}}=R^{2}sh{\frac {x_{2}}{R}}-R^{2}sh{\frac {x_{1}}{R}}\Rightarrow S_{\text{цеп.лин}}=R^{2}sh{\frac {x_{2}}{R}}-R^{2}sh{\frac {x_{1}}{R}}$

• Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в прямоугольных координатах.

См. также

• Длина дуги цепной линии

Другие формулы

• плоская фигура;
• круг;
• сегмент круга;
• сектор круга;
• сегмент правильного многоугольника;
• сектор правильного многоугольника;
• серп;
• сегмент параболы;
• эллипс;
• сегмент эллипса;
• сектор эллипса;
• серп эллипса;
• сегмент гиперболы;
• арка синусоиды;
• арка косинусоиды;
• фигура, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
• фигура, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
• арка циклоиды;
• сектор кардиоиды;
• фигура, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
• фигура, ограниченная трактрисой и осью абсцисс;
• сектор лемнискаты Бернулли.