Площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс
Площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс, — это число, характеризующее область под цепной линией в пределах −∞ < x1 ≤ x2 < ∞ в единицах измерения площади.
Цепная линия (висящая цепь) — это линия, образуемая гибкой тяжёлой нерастяжимой нитью (цепью), подвешенной в двух точках. График цепной линии имеет вид графика гиперболического косинуса.
Рассмотрим дуги цепной линии, с вершиной в точке (0, R).
Обозначения[править]
Введём обозначения:
x1 — абсцисса (меньшая) первой (левой) точки;
x2 — абсцисса (большая) второй (правой) точки;
M = (x, y) — точка цепной линии;
M0 = (0, R) — вершина цепной линии;
y = Rch(x/R) — уравнение цепной линии;
Sцеп.лин — площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс при −∞ < x1 ≤ x2 < ∞.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ S_\text{цеп.лин}=R^2sh\frac{x_2}{R}-R^2sh\frac{x_1}{R}, \ -\infty \lt x_1 \le x_2 \lt \infty }[/math]
- Площадь, ограниченная дугой цепной линии M0M и осью абсцисс, равна Sx = R2sh(x/R).
Вывод формулы[править]
- [math]\displaystyle{ S_\text{цеп.лин}=\iint\limits_{\cases{x_1 \le x \le x_2 \\ 0 \le y \le ch\frac{x}{R}}}1dxdy=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx \int\limits_0^{Rch\frac{x}{R}}1dy = \int\limits_{x_1}^{x_2}\left.y\right|_0^{Rch\frac{x}{R}}dx = \int\limits_{x_1}^{x_2}Rch\frac{x}{R}dx = R^2\int\limits_{x_1}^{x_2}ch\frac{x}{R}d\frac{x}{R}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\left.R^2sh\frac{x}{R}\right|_{x_1}^{x_2}=R^2sh\frac{x_2}{R}-R^2sh\frac{x_1}{R} \Rightarrow S_\text{цеп.лин}=R^2sh\frac{x_2}{R}-R^2sh\frac{x_1}{R} }[/math]
- Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в прямоугольных координатах.
См. также[править]
Другие формулы[править]
- площадь плоской фигуры;
- площадь круга;
- площадь сегмента круга;
- площадь сектора круга;
- площадь серпа;
- площадь эллипса;
- площадь сегмента эллипса;
- площадь сектора эллипса;
- площадь серпа эллипса;
- площадь сегмента параболы;
- площадь сегмента гиперболы;
- площадь сектора кардиоиды;
- площадь сектора лемнискаты Бернулли;
- площадь сегмента правильного многоугольника;
- площадь сектора правильного многоугольника;
- площадь арки синусоиды;
- площадь арки косинусоиды;
- площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
- площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
- площадь арки циклоиды;
- площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
- площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс.