Площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс

Цепная линия

Формула

Площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс, — это число, характеризующее область под цепной линией в пределах −∞ < x₁ ≤ x₂ < ∞ в единицах измерения площади.

Цепная линия (висящая цепь) — это линия, образуемая гибкой тяжёлой нерастяжимой нитью (цепью), подвешенной в двух точках. График цепной линии имеет вид графика гиперболического косинуса.

Рассмотрим дуги цепной линии, с вершиной в точке (0, R).

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса (меньшая) первой (левой) точки;

x₂ — абсцисса (большая) второй (правой) точки;

M = (x, y) — точка цепной линии;

M₀ = (0, R) — вершина цепной линии;

y = Rch(x/R) — уравнение цепной линии;

S_{цеп.лин} — площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс при −∞ < x₁ ≤ x₂ < ∞.

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_\text{цеп.лин}=R^2sh\frac{x_2}{R}-R^2sh\frac{x_1}{R}, \ -\infty < x_1 \le x_2 < \infty}

• Площадь, ограниченная дугой цепной линии M₀M и осью абсцисс, равна S_x = R²sh(x/R).

Вывод формулы

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_\text{цеп.лин}=\iint\limits_{\begin{cases}x_1 \le x \le x_2 \\ 0 \le y \le ch\frac{x}{R}\end{cases}}1dxdy=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx \int\limits_0^{Rch\frac{x}{R}}1dy = \int\limits_{x_1}^{x_2}\left.y\right|_0^{Rch\frac{x}{R}}dx = \int\limits_{x_1}^{x_2}Rch\frac{x}{R}dx = R^2\int\limits_{x_1}^{x_2}ch\frac{x}{R}d\frac{x}{R}=}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\left.R^2sh\frac{x}{R}\right|_{x_1}^{x_2}=R^2sh\frac{x_2}{R}-R^2sh\frac{x_1}{R} \Rightarrow S_\text{цеп.лин}=R^2sh\frac{x_2}{R}-R^2sh\frac{x_1}{R}}

• Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в прямоугольных координатах.

См. также

• Длина дуги цепной линии

Другие формулы

1. треугольник;
2. четырёхугольник;
3. круг;
4. сегмент круга;
5. сектор круга;
6. серп;
7. эллипс;
8. сегмент эллипса;
9. сектор эллипса;
10. серп эллипса;
11. сегмент параболы;
12. сегмент гиперболы;
13. сектор кардиоиды;
14. сектор лемнискаты Бернулли;
15. правильный многоугольник;
16. сегмент правильного многоугольника;
17. сектор правильного многоугольника;
18. арка циклоиды;
19. сектор кардиоиды;
20. сектор лемнискаты Бернулли.
21. арка синусоиды;
22. арка косинусоиды;
23. фигура, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
24. фигура, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
25. треугольник Рёло;
26. пятиугольник Рёло;
27. многоугольник Рёло;
28. общая плоская фигура.