Площадь арки синусоиды

Синусоида

Формула

Площадь арки синусоиды — это число, характеризующее арку (или часть арки) синусоиды в единицах измерения площади.

Арка (полуволна) синусоды — это область, ограниченная синусоидой и осью абсцисс при 0 ≤ x ≤ π.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой (меньшей) точки;

x₂ — абсцисса второй (большей) точки;

y = sinx — уравнение синусоиды;

S_sin — площадь арки (или части арки) синусоиды.

Формула

[math]\displaystyle{ S_{\sin}=\cos x_1-\cos x_2, \ 0 \le x_1 \le x_2 \le \pi }[/math]

• Площадь полной (от 0 до π) арки синусоиды равна S_арк.sin = 2.

Вывод формулы

[math]\displaystyle{ S_{\sin}=\iint\limits_{\cases{0 \le x_1 \le x \le x_2 \le \pi \\ 0 \le y \le \sin x}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx\int\limits_0^{\sin x}1dy=\int\limits_{x_1}^{x_2}\left.y\right|_0^{\sin x}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sin xdx=\left.(-\cos x)\right|_{x_1}^{x_2}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =-\cos x_2+\cos x_1=\cos x_1-\cos x_2 \Rightarrow S_{\sin}=\cos x_1-\cos x_2 }[/math]

• Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в прямоугольных координатах.

См. также

• Длина дуги синусоиды

Другие формулы

• площадь плоской фигуры;
• площадь круга;
• площадь сегмента круга;
• площадь сектора круга;
• площадь серпа;
• площадь эллипса;
• площадь сегмента эллипса;
• площадь сектора эллипса;
• площадь серпа эллипса;
• площадь сегмента параболы;
• площадь сегмента гиперболы;
• площадь сектора кардиоиды;
• площадь сектора лемнискаты Бернулли;
• площадь сегмента правильного многоугольника;
• площадь сектора правильного многоугольника;
• площадь арки синусоиды;
• площадь арки косинусоиды;
• площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
• площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
• площадь арки циклоиды;
• площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
• площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс.