Площадь арки синусоиды

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Синусоида
Формула

Площадь арки синусоиды — это число, характеризующее арку (или часть арки) синусоиды в единицах измерения площади.

Арка (полуволна) синусоды — это область, ограниченная синусоидой и осью абсцисс при 0 ≤ x ≤ π.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x1 — абсцисса первой (меньшей) точки;

x2 — абсцисса второй (большей) точки;

y = sinx — уравнение синусоиды;

Ssin — площадь арки (или части арки) синусоиды.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ S_{\sin}=\cos x_1-\cos x_2, \ 0 \le x_1 \le x_2 \le \pi }[/math]
  • Площадь полной (от 0 до π) арки синусоиды равна Sарк.sin = 2.

Вывод формулы[править]

[math]\displaystyle{ S_{\sin}=\iint\limits_{\cases{0 \le x_1 \le x \le x_2 \le \pi \\ 0 \le y \le \sin x}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx\int\limits_0^{\sin x}1dy=\int\limits_{x_1}^{x_2}\left.y\right|_0^{\sin x}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sin xdx=\left.(-\cos x)\right|_{x_1}^{x_2}= }[/math]
[math]\displaystyle{ =-\cos x_2+\cos x_1=\cos x_1-\cos x_2 \Rightarrow S_{\sin}=\cos x_1-\cos x_2 }[/math]

См. также[править]

Другие формулы[править]