Площадь арки синусоиды
Площадь арки синусоиды — это число, характеризующее арку (или часть арки) синусоиды в единицах измерения площади.
Арка (полуволна) синусоды — это область, ограниченная синусоидой и осью абсцисс при 0 ≤ x ≤ π.
Обозначения[править]
Введём обозначения:
x1 — абсцисса первой (меньшей) точки;
x2 — абсцисса второй (большей) точки;
y = sinx — уравнение синусоиды;
Ssin — площадь арки (или части арки) синусоиды.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ S_{\sin}=\cos x_1-\cos x_2, \ 0 \le x_1 \le x_2 \le \pi }[/math]
- Площадь полной (от 0 до π) арки синусоиды равна Sарк.sin = 2.
Вывод формулы[править]
- [math]\displaystyle{ S_{\sin}=\iint\limits_{\cases{0 \le x_1 \le x \le x_2 \le \pi \\ 0 \le y \le \sin x}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx\int\limits_0^{\sin x}1dy=\int\limits_{x_1}^{x_2}\left.y\right|_0^{\sin x}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sin xdx=\left.(-\cos x)\right|_{x_1}^{x_2}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =-\cos x_2+\cos x_1=\cos x_1-\cos x_2 \Rightarrow S_{\sin}=\cos x_1-\cos x_2 }[/math]
- Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в прямоугольных координатах.
См. также[править]
Другие формулы[править]
- площадь плоской фигуры;
- площадь круга;
- площадь сегмента круга;
- площадь сектора круга;
- площадь серпа;
- площадь эллипса;
- площадь сегмента эллипса;
- площадь сектора эллипса;
- площадь серпа эллипса;
- площадь сегмента параболы;
- площадь сегмента гиперболы;
- площадь сектора кардиоиды;
- площадь сектора лемнискаты Бернулли;
- площадь сегмента правильного многоугольника;
- площадь сектора правильного многоугольника;
- площадь арки синусоиды;
- площадь арки косинусоиды;
- площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
- площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
- площадь арки циклоиды;
- площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
- площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс.