Площадь арки косинусоиды

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Косинусоида
Формула

Площадь арки косинусоиды — это число, характеризующее арку (или часть арки) косинусоиды в единицах измерения площади.

Арка (полуволна) косинусоды — это область, ограниченная косинусоидой и осью абсцисс при −π/2 ≤ x ≤ π/2.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x1 — абсцисса первой (меньшей) точки;

x2 — абсцисса второй (большей) точки;

y = cosx — уравнение косинусоиды;

Scos — площадь арки (или части арки) косинусоиды.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ S_{\cos}=\sin x_2-\sin x_1, \ -\frac{\pi}{2} \le x_1 \le x_2 \le \frac{\pi}{2} }[/math]
  • Площадь полной (от −π/2 до π/2) арки косинусоиды равна Sарк.cos = 2.

Вывод формулы[править]

[math]\displaystyle{ S_{\cos}=\iint\limits_{\cases{-\frac{\pi}{2} \le x_1 \le x \le x_2 \le \frac{\pi}{2} \\ 0 \le y \le \cos x}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx\int\limits_0^{\cos x}1dy=\int\limits_{x_1}^{x_2}\left.y\right|_0^{\cos x}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\cos xdx=\left.\sin x\right|_{x_1}^{x_2}= }[/math]
[math]\displaystyle{ =\sin x_2-\sin x_1 \Rightarrow S_{\cos}=\sin x_2-\sin x_1 }[/math]

См. также[править]

Другие формулы[править]