Площадь арки циклоиды
Площадь арки циклоиды — это число, характеризующее арку (или часть арки) циклоиды в единицах измерения площади.
Арка циклоиды — это область, ограниченная циклоидой и осью абсцисс при 0 ≤ x ≤ 2π.
Рассмотрим арки циклоиды при 0 ≤ t ≤ 2π.
Обозначения[править]
Введём обозначения:
x1 — абсцисса первой точки дуги;
y1 — ордината первой точки дуги;
t1 — параметр (меньший) первой точки дуги;
x2 — абсцисса второй точки дуги;
y2 — ордината второй точки дуги;
t2 — параметр (больший) второй точки дуги;
R — радиус производящей окружности;
t — параметрическая переменная;
x = R(t − sint) — параметрическое уравнение абсциссы циклоиды;
y = R(1 − cost) — параметрическое уравнение ординаты циклоиды;
Sцикл — площадь арки (или части арки) циклоиды.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ S_\text{арк.цикл.}=R^2\left(\frac{3}{2}t_2-2\sin t_2 +\frac{1}{4}\sin 2t_2\right)-R^2\left(\frac{3}{2}t_1-2\sin t_1 +\frac{1}{4}\sin 2t_1\right), }[/math] [math]\displaystyle{ 0 \le t_1 \le t_2 \le 2\pi }[/math]
- Площадь полной (от 0 до 2π) арки циклоиды равна площади трёх производящих кругов, Sарк.цикл = 3πR2.
Вывод формулы[править]
- [math]\displaystyle{ S_\text{арк.цикл.}=\int\limits_{t_1}^{t_2}R(1-\cos t)[R(t - \sin t)]_t^{'}dt = \int\limits_{t_1}^{t_2}R^2(1-\cos t)^2dt = }[/math]
- [math]\displaystyle{ = R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}(1-2\cos t + \cos^2t)dt = R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}\left(1-2\cos t + \frac{1+\cos 2t}{2}\right)dt = }[/math]
- [math]\displaystyle{ = R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}\left(\frac{3}{2}-2\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t\right)dt = \left.R^2\left(\frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{4}\sin 2t\right)\right|_{t_1}^{t_2} = }[/math]
- [math]\displaystyle{ =R^2\left(\frac{3}{2}t_2-2\sin t_2 +\frac{1}{4}\sin 2t_2\right)-R^2\left(\frac{3}{2}t_1-2\sin t_1 +\frac{1}{4}\sin 2t_1\right) }[/math]
- Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в параметрической форме.
См. также[править]
Другие формулы[править]
- площадь плоской фигуры;
- площадь круга;
- площадь сегмента круга;
- площадь сектора круга;
- площадь серпа;
- площадь эллипса;
- площадь сегмента эллипса;
- площадь сектора эллипса;
- площадь серпа эллипса;
- площадь сегмента параболы;
- площадь сегмента гиперболы;
- площадь сектора кардиоиды;
- площадь сектора лемнискаты Бернулли;
- площадь сегмента правильного многоугольника;
- площадь сектора правильного многоугольника;
- площадь арки синусоиды;
- площадь арки косинусоиды;
- площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
- площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
- площадь арки циклоиды;
- площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
- площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс.