Площадь арки циклоиды

Циклоида

Формула

Площадь арки циклоиды — это число, характеризующее арку (или часть арки) циклоиды в единицах измерения площади.

Арка циклоиды — это область, ограниченная циклоидой и осью абсцисс при 0 ≤ x ≤ 2π.

Рассмотрим арки циклоиды при 0 ≤ t ≤ 2π.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр (больший) второй точки дуги;

R — радиус производящей окружности;

t — параметрическая переменная;

x = R(t − sint) — параметрическое уравнение абсциссы циклоиды;

y = R(1 − cost) — параметрическое уравнение ординаты циклоиды;

S_цикл — площадь арки (или части арки) циклоиды.

Формула

[math]\displaystyle{ S_\text{арк.цикл.}=R^2\left(\frac{3}{2}t_2-2\sin t_2 +\frac{1}{4}\sin 2t_2\right)-R^2\left(\frac{3}{2}t_1-2\sin t_1 +\frac{1}{4}\sin 2t_1\right), }[/math] [math]\displaystyle{ 0 \le t_1 \le t_2 \le 2\pi }[/math]

• Площадь полной (от 0 до 2π) арки циклоиды равна площади трёх производящих кругов, S_{арк.цикл} = 3πR².

Вывод формулы

[math]\displaystyle{ S_\text{арк.цикл.}=\int\limits_{t_1}^{t_2}R(1-\cos t)[R(t - \sin t)]_t^{'}dt = \int\limits_{t_1}^{t_2}R^2(1-\cos t)^2dt = }[/math]

[math]\displaystyle{ = R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}(1-2\cos t + \cos^2t)dt = R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}\left(1-2\cos t + \frac{1+\cos 2t}{2}\right)dt = }[/math]

[math]\displaystyle{ = R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}\left(\frac{3}{2}-2\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t\right)dt = \left.R^2\left(\frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{4}\sin 2t\right)\right|_{t_1}^{t_2} = }[/math]

[math]\displaystyle{ =R^2\left(\frac{3}{2}t_2-2\sin t_2 +\frac{1}{4}\sin 2t_2\right)-R^2\left(\frac{3}{2}t_1-2\sin t_1 +\frac{1}{4}\sin 2t_1\right) }[/math]

• Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в параметрической форме.

См. также

• Длина дуги циклоиды

Другие формулы

• площадь плоской фигуры;
• площадь круга;
• площадь сегмента круга;
• площадь сектора круга;
• площадь серпа;
• площадь эллипса;
• площадь сегмента эллипса;
• площадь сектора эллипса;
• площадь серпа эллипса;
• площадь сегмента параболы;
• площадь сегмента гиперболы;
• площадь сектора кардиоиды;
• площадь сектора лемнискаты Бернулли;
• площадь сегмента правильного многоугольника;
• площадь сектора правильного многоугольника;
• площадь арки синусоиды;
• площадь арки косинусоиды;
• площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
• площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
• площадь арки циклоиды;
• площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
• площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс.