Площадь арки циклоиды

Циклоида

Формула

Площадь арки циклоиды — это число, характеризующее арку (или часть арки) циклоиды в единицах измерения площади.

Арка циклоиды — это область, ограниченная циклоидой и осью абсцисс при 0 ≤ x ≤ 2π.

Рассмотрим арки циклоиды при 0 ≤ t ≤ 2π.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр (больший) второй точки дуги;

R — радиус производящей окружности;

t — параметрическая переменная;

x = R(t − sint) — параметрическое уравнение абсциссы циклоиды;

y = R(1 − cost) — параметрическое уравнение ординаты циклоиды;

S_цикл — площадь арки (или части арки) циклоиды.

S_{\text{арк.цикл.}}=R^{2}\left({\frac {3}{2}}t_{2}-2\sin t_{2}+{\frac {1}{4}}\sin 2t_{2}\right)-R^{2}\left({\frac {3}{2}}t_{1}-2\sin t_{1}+{\frac {1}{4}}\sin 2t_{1}\right),

0\leq t_{1}\leq t_{2}\leq 2\pi

Площадь полной (от 0 до 2π) арки циклоиды равна площади трёх производящих кругов, S_{арк.цикл} = 3πR².

S_{\text{арк.цикл.}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}R(1-\cos t)[R(t-\sin t)]_{t}^{'}dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}R^{2}(1-\cos t)^{2}dt=

=R^{2}\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}(1-2\cos t+\cos ^{2}t)dt=R^{2}\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\left(1-2\cos t+{\frac {1+\cos 2t}{2}}\right)dt=

=R^{2}\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {3}{2}}-2\cos t+{\frac {1}{2}}\cos 2t\right)dt=\left.R^{2}\left({\frac {3}{2}}t-2\sin t+{\frac {1}{4}}\sin 2t\right)\right|_{t_{1}}^{t_{2}}=

=R^{2}\left({\frac {3}{2}}t_{2}-2\sin t_{2}+{\frac {1}{4}}\sin 2t_{2}\right)-R^{2}\left({\frac {3}{2}}t_{1}-2\sin t_{1}+{\frac {1}{4}}\sin 2t_{1}\right)

Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в параметрической форме.