Площадь арки циклоиды

Циклоида

Формула

Площадь арки циклоиды — это число, характеризующее арку (или часть арки) циклоиды в единицах измерения площади.

Арка циклоиды — это область, ограниченная циклоидой и осью абсцисс при 0 ≤ x ≤ 2π.

Рассмотрим арки циклоиды при 0 ≤ t ≤ 2π.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр (больший) второй точки дуги;

R — радиус производящей окружности;

t — параметрическая переменная;

x = R(t − sint) — параметрическое уравнение абсциссы циклоиды;

y = R(1 − cost) — параметрическое уравнение ординаты циклоиды;

S_цикл — площадь арки (или части арки) циклоиды.

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_\text{арк.цикл.}=R^2\left(\frac{3}{2}t_2-2\sin t_2 +\frac{1}{4}\sin 2t_2\right)-R^2\left(\frac{3}{2}t_1-2\sin t_1 +\frac{1}{4}\sin 2t_1\right),} Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 \le t_1 \le t_2 \le 2\pi}

• Площадь полной (от 0 до 2π) арки циклоиды равна площади трёх производящих кругов, S_{арк.цикл} = 3πR².

Вывод формулы

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_\text{арк.цикл.}=\int\limits_{t_1}^{t_2}R(1-\cos t)[R(t - \sin t)]_t^{'}dt = \int\limits_{t_1}^{t_2}R^2(1-\cos t)^2dt =}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}(1-2\cos t + \cos^2t)dt = R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}\left(1-2\cos t + \frac{1+\cos 2t}{2}\right)dt =}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = R^2\int\limits_{t_1}^{t_2}\left(\frac{3}{2}-2\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t\right)dt = \left.R^2\left(\frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{4}\sin 2t\right)\right|_{t_1}^{t_2} =}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =R^2\left(\frac{3}{2}t_2-2\sin t_2 +\frac{1}{4}\sin 2t_2\right)-R^2\left(\frac{3}{2}t_1-2\sin t_1 +\frac{1}{4}\sin 2t_1\right)}

• Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в параметрической форме.

См. также

• Длина дуги циклоиды

Другие формулы

1. треугольник;
2. четырёхугольник;
3. круг;
4. сегмент круга;
5. сектор круга;
6. серп;
7. эллипс;
8. сегмент эллипса;
9. сектор эллипса;
10. серп эллипса;
11. сегмент параболы;
12. сегмент гиперболы;
13. сектор кардиоиды;
14. сектор лемнискаты Бернулли;
15. правильный многоугольник;
16. сегмент правильного многоугольника;
17. сектор правильного многоугольника;
18. арка циклоиды;
19. сектор кардиоиды;
20. сектор лемнискаты Бернулли.
21. арка синусоиды;
22. арка косинусоиды;
23. фигура, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
24. фигура, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
25. треугольник Рёло;
26. пятиугольник Рёло;
27. многоугольник Рёло;
28. общая плоская фигура.