Площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Котангенсоида
Формула

Площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс — это число, характеризующее данную область при 0 < x ≤ π/2 в единицах измерения площади.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x1 — абсцисса первой (меньшей) точки;

x2 — абсцисса второй (большей) точки;

y = ctgx — уравнение котангенса;

Sctg — площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс при 0 < x1 ≤ x2 ≤ π/2.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ S_{ctg}=\ln|\sin x_2|-\ln|\sin x_1|, \ 0 \lt x_1 \le x_2 \le \frac{\pi}{2} }[/math]

Вывод формулы[править]

[math]\displaystyle{ S_{ctg}=\iint\limits_{\cases{0 \lt x_1 \le x \le x_2 \le \frac{\pi}{2} \\ 0 \le y \le ctg x}}1dxdy=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx \int\limits_0^{ctg x}1dy = \int\limits_{x_1}^{x_2}\left.y\right|_0^{ctg x}dx = \int\limits_{x_1}^{x_2}ctg xdx = \left.\ln|\sin x|\right|_{x_1}^{x_2}= }[/math]
[math]\displaystyle{ =\ln|\sin x_2|-\ln|\sin x_1| \Rightarrow S_{ctg}=\ln|\sin x_2|-\ln|\sin x_1| }[/math]

Другие формулы[править]