Площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс

Котангенсоида

Формула

Площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс — это число, характеризующее данную область при 0 < x ≤ π/2 в единицах измерения площади.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой (меньшей) точки;

x₂ — абсцисса второй (большей) точки;

y = ctgx — уравнение котангенса;

S_ctg — площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс при 0 < x₁ ≤ x₂ ≤ π/2.

Формула

[math]\displaystyle{ S_{ctg}=\ln|\sin x_2|-\ln|\sin x_1|, \ 0 \lt x_1 \le x_2 \le \frac{\pi}{2} }[/math]

Вывод формулы

[math]\displaystyle{ S_{ctg}=\iint\limits_{\cases{0 \lt x_1 \le x \le x_2 \le \frac{\pi}{2} \\ 0 \le y \le ctg x}}1dxdy=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx \int\limits_0^{ctg x}1dy = \int\limits_{x_1}^{x_2}\left.y\right|_0^{ctg x}dx = \int\limits_{x_1}^{x_2}ctg xdx = \left.\ln|\sin x|\right|_{x_1}^{x_2}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\ln|\sin x_2|-\ln|\sin x_1| \Rightarrow S_{ctg}=\ln|\sin x_2|-\ln|\sin x_1| }[/math]

• Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в прямоугольных координатах.

Другие формулы

• площадь плоской фигуры;
• площадь круга;
• площадь сегмента круга;
• площадь сектора круга;
• площадь серпа;
• площадь эллипса;
• площадь сегмента эллипса;
• площадь сектора эллипса;
• площадь серпа эллипса;
• площадь сегмента параболы;
• площадь сегмента гиперболы;
• площадь сектора кардиоиды;
• площадь сектора лемнискаты Бернулли;
• площадь сегмента правильного многоугольника;
• площадь сектора правильного многоугольника;
• площадь арки синусоиды;
• площадь арки косинусоиды;
• площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
• площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
• площадь арки циклоиды;
• площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
• площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс.