Площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Тангенсоида
Формула

Площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс, — это число, характеризующее данную область при 0 ≤ x < π/2 в единицах измерения площади.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x1 — абсцисса первой (меньшей) точки;

x2 — абсцисса второй (большей) точки;

y = tgx — уравнение тангенса;

Stg — площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс при 0 ≤ x1 ≤ x2 < π/2.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ S_{tg}=\ln|\cos x_1|-\ln|\cos x_2|, \ 0 \le x_1 \le x_2 \le \frac{\pi}{2} }[/math]

Вывод формулы[править]

[math]\displaystyle{ S_{tg}=\iint\limits_{\cases{0 \le x_1 \le x \le x_2 \lt \frac{\pi}{2} \\ 0 \le y \le tg x}}1dxdy=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx \int\limits_0^{tg x}1dy = \int\limits_{x_1}^{x_2}\left.y\right|_0^{tg x}dx = \int\limits_{x_1}^{x_2}tg xdx = \left.\left(-\ln|\cos x|\right)\right|_{x_1}^{x_2}= }[/math]
[math]\displaystyle{ =-\ln|\cos x_2|+\ln|\cos x_1| = \ln|\cos x_1|-\ln|\cos x_2| \Rightarrow S_{tg}=\ln|\cos x_1|-\ln|\cos x_2| }[/math]

Другие формулы[править]