Площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс
Площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс, — это число, характеризующее данную область при 0 ≤ x < π/2 в единицах измерения площади.
Содержание
Обозначения[править]
Введём обозначения:
x1 — абсцисса первой (меньшей) точки;
x2 — абсцисса второй (большей) точки;
y = tgx — уравнение тангенса;
Stg — площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс при 0 ≤ x1 ≤ x2 < π/2.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ S_{tg}=\ln|\cos x_1|-\ln|\cos x_2|, \ 0 \le x_1 \le x_2 \le \frac{\pi}{2} }[/math]
Вывод формулы[править]
- [math]\displaystyle{ S_{tg}=\iint\limits_{\cases{0 \le x_1 \le x \le x_2 \lt \frac{\pi}{2} \\ 0 \le y \le tg x}}1dxdy=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx \int\limits_0^{tg x}1dy = \int\limits_{x_1}^{x_2}\left.y\right|_0^{tg x}dx = \int\limits_{x_1}^{x_2}tg xdx = \left.\left(-\ln|\cos x|\right)\right|_{x_1}^{x_2}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =-\ln|\cos x_2|+\ln|\cos x_1| = \ln|\cos x_1|-\ln|\cos x_2| \Rightarrow S_{tg}=\ln|\cos x_1|-\ln|\cos x_2| }[/math]
- Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в прямоугольных координатах.
Другие формулы[править]
- площадь плоской фигуры;
- площадь круга;
- площадь сегмента круга;
- площадь сектора круга;
- площадь серпа;
- площадь эллипса;
- площадь сегмента эллипса;
- площадь сектора эллипса;
- площадь серпа эллипса;
- площадь сегмента параболы;
- площадь сегмента гиперболы;
- площадь сектора кардиоиды;
- площадь сектора лемнискаты Бернулли;
- площадь сегмента правильного многоугольника;
- площадь сектора правильного многоугольника;
- площадь арки синусоиды;
- площадь арки косинусоиды;
- площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
- площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
- площадь арки циклоиды;
- площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
- площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс.