Площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс

Тангенсоида

Формула

Площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс, — это число, характеризующее данную область при 0 ≤ x < π/2 в единицах измерения площади.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой (меньшей) точки;

x₂ — абсцисса второй (большей) точки;

y = tgx — уравнение тангенса;

S_tg — площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс при 0 ≤ x₁ ≤ x₂ < π/2.

Формула

[math]\displaystyle{ S_{tg}=\ln|\cos x_1|-\ln|\cos x_2|, \ 0 \le x_1 \le x_2 \le \frac{\pi}{2} }[/math]

Вывод формулы

[math]\displaystyle{ S_{tg}=\iint\limits_{\cases{0 \le x_1 \le x \le x_2 \lt \frac{\pi}{2} \\ 0 \le y \le tg x}}1dxdy=\int\limits_{x_1}^{x_2}dx \int\limits_0^{tg x}1dy = \int\limits_{x_1}^{x_2}\left.y\right|_0^{tg x}dx = \int\limits_{x_1}^{x_2}tg xdx = \left.\left(-\ln|\cos x|\right)\right|_{x_1}^{x_2}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =-\ln|\cos x_2|+\ln|\cos x_1| = \ln|\cos x_1|-\ln|\cos x_2| \Rightarrow S_{tg}=\ln|\cos x_1|-\ln|\cos x_2| }[/math]

• Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в прямоугольных координатах.

Другие формулы

• площадь плоской фигуры;
• площадь круга;
• площадь сегмента круга;
• площадь сектора круга;
• площадь серпа;
• площадь эллипса;
• площадь сегмента эллипса;
• площадь сектора эллипса;
• площадь серпа эллипса;
• площадь сегмента параболы;
• площадь сегмента гиперболы;
• площадь сектора кардиоиды;
• площадь сектора лемнискаты Бернулли;
• площадь сегмента правильного многоугольника;
• площадь сектора правильного многоугольника;
• площадь арки синусоиды;
• площадь арки косинусоиды;
• площадь, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
• площадь, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
• площадь арки циклоиды;
• площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
• площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс.