Площадь круга

Круг

Формула

Площадь круга через интеграл // Valery Volkov [16:29]

Площадь круга — это действительное число, характеризующее круг в единицах измерения площади.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

R — радиус;

D — диаметр;

S_круг — площадь круга.

S_{\text{круг}}=\pi R^{2}\Leftrightarrow S_{\text{круг}}={\frac {1}{4}}\pi D^{2},\ D=2R

S_{\text{круг}}=\iint \limits _{x^{2}+y^{2}\leq R^{2}}1dxdy=\int \limits _{-R}^{R}dx\int \limits _{-{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}1dy=\int \limits _{-R}^{R}\left.y\right|_{-{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}^{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}dx=2\int \limits _{-R}^{R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}dx=

=4\int \limits _{0}^{R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}dx=2\left.\left(x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}+R^{2}\arcsin {\frac {x}{R}}\right)\right|_{0}^{R}=

2\left(R{\sqrt {R^{2}-R^{2}}}+R^{2}\arcsin {\frac {R}{R}}\right)=2R^{2}\arcsin 1=\pi R^{2}\Rightarrow S_{\text{круг}}=\pi R^{2}

Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в прямоугольных координатах.
Для нахождения интеграла используется формула 3 «интегралы функций с корнями».

S_{\text{круг}}=\iint \limits _{r\leq R}rdrd\varphi =\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{R}rdr={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }\left.r^{2}\right|_{0}^{R}d\varphi ={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }R^{2}d\varphi ={\frac {1}{2}}R^{2}\int \limits _{0}^{2\pi }1d\varphi =

=\left.{\frac {1}{2}}R^{2}\varphi \right|_{0}^{2\pi }={\frac {1}{2}}R^{2}\cdot 2\pi =\pi R^{2}\Rightarrow S_{\text{круг}}=\pi R^{2}

Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в полярных координатах.