Площадь круга

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Круг
Формула
Площадь круга через интеграл // Valery Volkov [16:29]

Площадь круга — это действительное число, характеризующее круг в единицах измерения площади.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

R — радиус;

D — диаметр;

Sкруг — площадь круга.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ S_\text{круг}=\pi R^2 \Leftrightarrow S_\text{круг}=\frac{1}{4}\pi D^2, \ D=2R }[/math]

Вывод формулы[править]

1-й способ[править]

[math]\displaystyle{ S_\text{круг}=\iint\limits_{x^2+y^2 \le R^2}1dxdy=\int\limits_{-R}^Rdx\int\limits_{-\sqrt{R^2-x^2}}^\sqrt{R^2-x^2}1dy=\int\limits_{-R}^R\left.y\right|_{-\sqrt{R^2-x^2}}^\sqrt{R^2-x^2}dx=2\int\limits_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}dx= }[/math]
[math]\displaystyle{ =4\int\limits_0^R\sqrt{R^2-x^2}dx=2\left.\left(x\sqrt{R^2-x^2}+R^2\arcsin\frac{x}{R}\right)\right|_0^R= }[/math]
[math]\displaystyle{ 2\left(R\sqrt{R^2-R^2}+R^2\arcsin\frac{R}{R}\right)=2R^2\arcsin1=\pi R^2 \Rightarrow S_\text{круг}=\pi R^2 }[/math]

2-й способ[править]

[math]\displaystyle{ S_\text{круг}=\iint\limits_{r \le R} rdrd\varphi = \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{R}rdr=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2\pi}\left.r^2\right|_0^Rd\varphi=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2\pi}R^2d\varphi=\frac{1}{2}R^2\int\limits_{0}^{2\pi}1d\varphi= }[/math]
[math]\displaystyle{ =\left.\frac{1}{2}R^2\varphi\right|_{0}^{2\pi}=\frac{1}{2}R^2\cdot 2\pi=\pi R^2 \Rightarrow S_\text{круг}=\pi R^2 }[/math]

См. также[править]

Другие формулы[править]