Площадь круга

Круг

Формула

Площадь круга через интеграл // Valery Volkov [16:29]

Площадь круга — это действительное число, характеризующее круг в единицах измерения площади.

Обозначения

Введём обозначения:

R — радиус;

D — диаметр;

S_круг — площадь круга.

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_\text{круг}=\pi R^2 \Leftrightarrow S_\text{круг}=\frac{1}{4}\pi D^2, \ D=2R}

Вывод формулы

1-й способ

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_\text{круг}=\iint\limits_{x^2+y^2 \le R^2}1dxdy=\int\limits_{-R}^Rdx\int\limits_{-\sqrt{R^2-x^2}}^\sqrt{R^2-x^2}1dy=\int\limits_{-R}^R\left.y\right|_{-\sqrt{R^2-x^2}}^\sqrt{R^2-x^2}dx=2\int\limits_{-R}^R\sqrt{R^2-x^2}dx=}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =4\int\limits_0^R\sqrt{R^2-x^2}dx=2\left.\left(x\sqrt{R^2-x^2}+R^2\arcsin\frac{x}{R}\right)\right|_0^R=}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\left(R\sqrt{R^2-R^2}+R^2\arcsin\frac{R}{R}\right)=2R^2\arcsin1=\pi R^2 \Rightarrow S_\text{круг}=\pi R^2}

• Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в прямоугольных координатах.
• Для нахождения интеграла используется формула 3 «интегралы функций с корнями».

2-й способ

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_\text{круг}=\iint\limits_{r \le R} rdrd\varphi = \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{R}rdr=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2\pi}\left.r^2\right|_0^Rd\varphi=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{2\pi}R^2d\varphi=\frac{1}{2}R^2\int\limits_{0}^{2\pi}1d\varphi=}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\left.\frac{1}{2}R^2\varphi\right|_{0}^{2\pi}=\frac{1}{2}R^2\cdot 2\pi=\pi R^2 \Rightarrow S_\text{круг}=\pi R^2}

• Для вывода используется формула «площадь плоской фигуры» в полярных координатах.

См. также

• Длина дуги окружности

Другие формулы

1. треугольник;
2. четырёхугольник;
3. круг;
4. сегмент круга;
5. сектор круга;
6. серп;
7. эллипс;
8. сегмент эллипса;
9. сектор эллипса;
10. серп эллипса;
11. сегмент параболы;
12. сегмент гиперболы;
13. сектор кардиоиды;
14. сектор лемнискаты Бернулли;
15. правильный многоугольник;
16. сегмент правильного многоугольника;
17. сектор правильного многоугольника;
18. арка циклоиды;
19. сектор кардиоиды;
20. сектор лемнискаты Бернулли.
21. арка синусоиды;
22. арка косинусоиды;
23. фигура, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
24. фигура, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
25. треугольник Рёло;
26. пятиугольник Рёло;
27. многоугольник Рёло;
28. общая плоская фигура.