Длина дуги окружности

Окружность

Длина дуги и радианная мера // KhanAcademyRussian [2:39]

Длина дуги окружности — это число, характеризующее протяжённость дуги окружности в единицах измерения длины.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

x² + y² = R² — каноническое уравнение окружности;

r = R — уравнение окружности в полярных координатах;

L_{дуг.окр} — длина дуги окружности.

Формула

$L_{\text{дуг.окр}}=R\left(\arcsin {\frac {x_{2}}{R}}-\arcsin {\frac {x_{1}}{R}}\right)\Leftrightarrow L_{\text{дуг.окр}}=R\arcsin {\frac {y_{1}x_{2}-y_{2}x_{1}}{R^{2}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow L_{\text{дуг.окр}}=R\alpha ,\ \alpha =\arcsin {\frac {x_{2}}{R}}-\arcsin {\frac {x_{1}}{R}}$

Вывод формулы

1-ый способ

$L_{\text{дуг.окр}}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\left[\left({\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\right)'\right]^{2}}}dx=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\left({\frac {-x}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}\right)^{2}}}dx=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}}dx=$

$=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {R}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}dx=R\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {dx}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}=R\left.\arcsin {\frac {x}{R}}\right|_{x_{1}}^{x_{2}}=R\left(\arcsin {\frac {x_{2}}{R}}-\arcsin {\frac {x_{1}}{R}}\right)\Rightarrow$

$\Rightarrow L_{\text{дуг.окр}}=R\left(\arcsin {\frac {x_{2}}{R}}-\arcsin {\frac {x_{1}}{R}}\right)$

• Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой в прямоугольных координатах.

2-ой способ

$L_{\text{дуг.окр}}=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {R^{2}+\left(R'_{\varphi }\right)^{2}}}d\varphi =\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {R^{2}+0^{2}}}d\varphi =R\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}1d\varphi =\left.R\varphi \right|_{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}=R(\varphi _{2}-\varphi _{1})=R\alpha \Rightarrow$

$\Rightarrow L_{\text{дуг.окр}}=R\alpha$

• Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой в полярных координатах.

Другие формулы

• плоская кривая;
• окружность;
• парабола;
• эллипс;
• гипербола;
• синусоида;
• косинусоида;
• циклоида;
• кардиоида;
• астроида;
• эпициклоида;
• гипоциклоида;
• эвольвента;
• цепная линия;
• трактриса;
• лемниската Бернулли.