Длина дуги окружности

Окружность

Длина дуги и радианная мера // KhanAcademyRussian [2:39]

Длина дуги окружности — это число, характеризующее протяжённость дуги окружности в единицах измерения длины.

Обозначения

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

x² + y² = R² — каноническое уравнение окружности;

r = R — уравнение окружности в полярных координатах;

L_{дуг.окр} — длина дуги окружности.

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_\text{дуг.окр}=R\left(\arcsin\frac{x_2}{R}-\arcsin\frac{x_1}{R}\right) \Leftrightarrow L_\text{дуг.окр}=R\arcsin\frac{y_1x_2-y_2x_1}{R^2} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow L_\text{дуг.окр}=R\alpha, \ \alpha=\arcsin\frac{x_2}{R}-\arcsin\frac{x_1}{R}}

Вывод формулы

1-ый способ

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_\text{дуг.окр}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[\left(\sqrt{R^2-x^2}\right)'\right]^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}}\right)^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2}}dx=}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\int\limits_{x_1}^{x_2}\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}dx=R\int\limits_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=R\left.\arcsin\frac{x}{R}\right|_{x_1}^{x_2}=R\left(\arcsin\frac{x_2}{R}-\arcsin\frac{x_1}{R}\right) \Rightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Rightarrow L_\text{дуг.окр}=R\left(\arcsin\frac{x_2}{R}-\arcsin\frac{x_1}{R}\right)}

• Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой в прямоугольных координатах.

2-ой способ

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_\text{дуг.окр}=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{R^2+\left(R'_\varphi\right)^2}d\varphi=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{R^2+0^2}d\varphi=R\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}1d\varphi=\left.R\varphi\right|_{\varphi_1}^{\varphi_2}=R(\varphi_2-\varphi_1)=R\alpha \Rightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Rightarrow L_\text{дуг.окр}=R\alpha}

• Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой в полярных координатах.

Другие формулы

1. плоская кривая;
2. окружность;
3. парабола;
4. эллипс;
5. гипербола;
6. синусоида;
7. косинусоида;
8. циклоида;
9. кардиоида;
10. астроида;
11. эпициклоида;
12. гипоциклоида;
13. эвольвента;
14. цепная линия;
15. трактриса;
16. лемниската Бернулли.