Длина дуги окружности

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Окружность
Длина дуги и радианная мера // KhanAcademyRussian [2:39]

Длина дуги окружности — это число, характеризующее протяжённость дуги окружности в единицах измерения длины.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x1 — абсцисса первой точки дуги;

y1 — ордината первой точки дуги;

x2 — абсцисса второй точки дуги;

y2 — ордината второй точки дуги;

x2 + y2 = R2 — каноническое уравнение окружности;

r = R — уравнение окружности в полярных координатах;

Lдуг.окр — длина дуги окружности.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ L_\text{дуг.окр}=R\left(\arcsin\frac{x_2}{R}-\arcsin\frac{x_1}{R}\right) \Leftrightarrow L_\text{дуг.окр}=R\arcsin\frac{y_1x_2-y_2x_1}{R^2} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow L_\text{дуг.окр}=R\alpha, \ \alpha=\arcsin\frac{x_2}{R}-\arcsin\frac{x_1}{R} }[/math]

Вывод формулы[править]

1-ый способ[править]

[math]\displaystyle{ L_\text{дуг.окр}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[\left(\sqrt{R^2-x^2}\right)'\right]^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}}\right)^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2}}dx= }[/math]
[math]\displaystyle{ =\int\limits_{x_1}^{x_2}\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2}}dx=R\int\limits_{x_1}^{x_2}\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=R\left.\arcsin\frac{x}{R}\right|_{x_1}^{x_2}=R\left(\arcsin\frac{x_2}{R}-\arcsin\frac{x_1}{R}\right) \Rightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Rightarrow L_\text{дуг.окр}=R\left(\arcsin\frac{x_2}{R}-\arcsin\frac{x_1}{R}\right) }[/math]

2-ой способ[править]

[math]\displaystyle{ L_\text{дуг.окр}=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{R^2+\left(R'_\varphi\right)^2}d\varphi=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{R^2+0^2}d\varphi=R\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}1d\varphi=\left.R\varphi\right|_{\varphi_1}^{\varphi_2}=R(\varphi_2-\varphi_1)=R\alpha \Rightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Rightarrow L_\text{дуг.окр}=R\alpha }[/math]

Другие формулы[править]