Длина дуги плоской кривой

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
ДПК01.JPG
Лекция 7: Вычисление длины кривой. Дифференциал длины дуги кривой // НОУ ИНТУИТ [38:31]

Длина дуги плоской кривой — это числовая характеристика протяжённости дуги кривой на плоскости в единицах измерения длины.

Формулы[править]

Прямоугольная система координат[править]

Длина дуги плоской кривой, заданной уравнением y = y(x) или x = x(y), считается по формуле:

[math]\displaystyle{ L_{\text{дуги}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[y'_x(x)\right]^2}dx \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[\frac{dy(x)}{dx}\right]^2}dx \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left[x'_y(y)\right]^2}dy \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left[\frac{dx(y)}{dy}\right]^2}dy }[/math]

Полярная система координат[править]

Длина дуги плоской кривой, заданной уравнением r = r(φ), считается по формуле:

[math]\displaystyle{ L_{\text{дуги}}=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{r^2(\varphi)+\left[r'_{\varphi}(\varphi)\right]^2}d\varphi \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{r^2(\varphi)+\left[\frac{dr(\varphi)}{d\varphi}\right]^2}d\varphi }[/math]

Параметрически заданная кривая[править]

Длина дуги плоской кривой, заданной (параметрически) уравнениями x = x(t), y = y(t), считается по формуле:

[math]\displaystyle{ L_{\text{дуги}}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[x'_t(t)\right]^2+\left[y'_t(t)\right]^2}dt \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[\frac{dx(t)}{dt}\right]^2+\left[\frac{dy(t)}{dt}\right]^2}dt }[/math]

См. также[править]

Примеры плоских кривых[править]

Другие формулы[править]

Виды формул[править]

Литература[править]

  • Бронштейн М. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике — М., 1956, стр.394.