Длина дуги плоской кривой

Длина дуги плоской кривой — это числовая характеристика протяжённости дуги кривой на плоскости в единицах измерения длины.

Формулы

Прямоугольная система координат

Длина дуги плоской кривой, заданной уравнением y = y(x) или x = x(y), считается по формуле:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_{\text{дуги}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[y'_x(x)\right]^2}dx \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[\frac{dy(x)}{dx}\right]^2}dx \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left[x'_y(y)\right]^2}dy \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left[\frac{dx(y)}{dy}\right]^2}dy }

Полярная система координат

Длина дуги плоской кривой, заданной уравнением r = r(φ), считается по формуле:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_{\text{дуги}}=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{r^2(\varphi)+\left[r'_{\varphi}(\varphi)\right]^2}d\varphi\Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{r^2(\varphi)+\left[\frac{dr(\varphi)}{d\varphi}\right]^2}d\varphi}

Параметрически заданная кривая

Длина дуги плоской кривой, заданной (параметрически) уравнениями x = x(t), y = y(t), считается по формуле:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_{\text{дуги}}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[x'_t(t)\right]^2+\left[y'_t(t)\right]^2}dt \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[\frac{dx(t)}{dt}\right]^2+\left[\frac{dy(t)}{dt}\right]^2}dt}

См. также

• Площадь плоской фигуры

Примеры плоских кривых

1. плоская кривая;
2. окружность;
3. парабола;
4. эллипс;
5. гипербола;
6. синусоида;
7. косинусоида;
8. циклоида;
9. кардиоида;
10. астроида;
11. эпициклоида;
12. гипоциклоида;
13. эвольвента;
14. цепная линия;
15. трактриса;
16. лемниската Бернулли.

Другие формулы

• Длина дуги плоской кривой;
• Длина дуги трёхмерной кривой.

Виды формул

1. расстояние;
2. длина линии;
3. площадь двухмерной фигуры;
4. площадь поверхности трёхмерной фигуры;
5. объём трёхмерной фигуры;
6. точка;
7. проекция;
8. угол;
9. уравнение прямой;
10. уравнение плоскости.

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике — М., 1956, стр.394.