Длина дуги гипоциклоиды

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
HypocycloidK1,66.gif

Длина дуги гипоциклоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги гипоциклоиды в единицах измерения длины.

Гипоциклоида — это линия, описываемая точкой окружности (производящая), когда последняя катится без скольжения внутри неподвижной окружности (направляющая).

Рассмотрим дуги гипоциклоиды при 0 ≤ t ≤ π/2.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x1 — абсцисса первой точки дуги;

y1 — ордината первой точки дуги;

t1 — параметр (меньший) первой точки дуги;

x2 — абсцисса второй точки дуги;

y2 — ордината второй точки дуги;

t2 — параметр (больший) второй точки дуги;

R — радиус направляющей окружности;

r — радиус производящей окружности;

t — параметрическая переменная;

x = (R − r)cost + rcos[(R − r)t/r] — параметрическое уравнение абсциссы гипоциклоиды;

y = (R − r)sint − rsin[(R − r)t/r] — параметрическое уравнение ординаты гипоциклоиды;

Lдуг.гипоцик — длина дуги гипоциклоиды.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ L_{\it{гипоцикл}}=\frac{4(R-r)R}{R}\left(\cos\frac{Rt_1}{2r}-\cos\frac{Rt_2}{2r}\right), 0 \le t_1 \le t_2 \le \frac{\pi r}{R} }[/math]
  • Заметим, что астроида является гипоциклоидой.

Вывод формулы[править]

ДГИЦ11.JPG

Другие формулы[править]

Ссылки[править]

  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.805.
  • Участник:Logic-samara