Длина дуги цепной линии

Цепная линия

Формула

Длина дуги цепной линии — это число, характеризующее протяжённость дуги цепной линии в единицах измерения длины.

Цепная линия (висящая цепь) — это линия, образуемая гибкой тяжёлой нерастяжимой нитью (цепью), подвешенной в двух точках. График цепной линии имеет вид графика гиперболического косинуса.

Рассмотрим дуги цепной линии, с вершиной в точке (0, R).

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса (меньшая) первой точки;

y₁ — ордината первой точки;

x₂ — абсцисса (большая) второй точки;

y₂ — ордината второй точки;

R — ордината вершины цепной линии;

M = (x, y) — точка цепной линии;

M₀ = (0, R) — вершина цепной линии;

y = Rch(x/R) — уравнение цепной линии;

L_{дуг.цеп} — длина дуги цепной линии.

Формула

[math]\displaystyle{ L_{\text{дуг.цеп}}=R\left(sh\frac{x_2}{R}-sh\frac{x_1}{R}\right) \Leftrightarrow L_{\text{дуг.цеп}}=\frac{1}{2}R\left(e^\frac{x_2}{R}-e^{-\frac{x_2}{R}}-e^\frac{x_1}{R}+e^{-\frac{x_1}{R}}\right) }[/math]

• Длина дуги цепной линии M₀M от вершины равна L_x = Rsh(x/R).

Вывод формулы

[math]\displaystyle{ L_{\text{дуг.цеп}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left(y'_x(x)\right)^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[\left(Rch\frac{x}{R}\right)'_x\right]^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left(sh\frac{x}{R}\right)^2}dx= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+sh^2\frac{x}{R}}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{ch^2\frac{x}{R}}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}ch\frac{x}{R}dx=R\int\limits_{x_1}^{x_2}ch\frac{x}{R}d\frac{x}{R}=\left.Rsh\frac{x}{R}\right|_{x_1}^{x_2}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =R\left(sh\frac{x_2}{R}-sh\frac{x_1}{R}\right) \Rightarrow L_{\text{дуг.цеп}}=R\left(sh\frac{x_2}{R}-sh\frac{x_1}{R}\right) }[/math]

• Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в прямоугольных координатах.

См. также

• Площадь, ограниченная цепной линией и осью абсцисс

Другие формулы

• длина дуги плоской кривой;
• длина дуги окружности;
• длина дуги параболы;
• длина дуги эллипса;
• длина дуги гиперболы;
• длина дуги синусоиды;
• длина дуги косинусоиды;
• длина дуги циклоиды;
• длина дуги кардиоиды;
• длина дуги астроиды;
• длина дуги эпициклоиды;
• длина дуги гипоциклоиды;
• длина дуги эвольвенты окружности;
• длина дуги цепной линии;
• длина дуги трактрисы;
• длина дуги лемнискаты Бернулли.

Литература

• Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.113.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике — М.: Наука, 1964, стр.829.