Длина дуги цепной линии
Длина дуги цепной линии — это число, характеризующее протяжённость дуги цепной линии в единицах измерения длины.
Цепная линия (висящая цепь) — это линия, образуемая гибкой тяжёлой нерастяжимой нитью (цепью), подвешенной в двух точках. График цепной линии имеет вид графика гиперболического косинуса.
Рассмотрим дуги цепной линии, с вершиной в точке (0, R).
Обозначения[править]
Введём обозначения:
x1 — абсцисса (меньшая) первой точки;
y1 — ордината первой точки;
x2 — абсцисса (большая) второй точки;
y2 — ордината второй точки;
R — ордината вершины цепной линии;
M = (x, y) — точка цепной линии;
M0 = (0, R) — вершина цепной линии;
y = Rch(x/R) — уравнение цепной линии;
Lдуг.цеп — длина дуги цепной линии.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ L_{\text{дуг.цеп}}=R\left(sh\frac{x_2}{R}-sh\frac{x_1}{R}\right) \Leftrightarrow L_{\text{дуг.цеп}}=\frac{1}{2}R\left(e^\frac{x_2}{R}-e^{-\frac{x_2}{R}}-e^\frac{x_1}{R}+e^{-\frac{x_1}{R}}\right) }[/math]
- Длина дуги цепной линии M0M от вершины равна Lx = Rsh(x/R).
Вывод формулы[править]
- [math]\displaystyle{ L_{\text{дуг.цеп}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left(y'_x(x)\right)^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[\left(Rch\frac{x}{R}\right)'_x\right]^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left(sh\frac{x}{R}\right)^2}dx= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+sh^2\frac{x}{R}}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{ch^2\frac{x}{R}}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}ch\frac{x}{R}dx=R\int\limits_{x_1}^{x_2}ch\frac{x}{R}d\frac{x}{R}=\left.Rsh\frac{x}{R}\right|_{x_1}^{x_2}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =R\left(sh\frac{x_2}{R}-sh\frac{x_1}{R}\right) \Rightarrow L_{\text{дуг.цеп}}=R\left(sh\frac{x_2}{R}-sh\frac{x_1}{R}\right) }[/math]
- Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в прямоугольных координатах.
См. также[править]
Другие формулы[править]
- длина дуги плоской кривой;
- длина дуги окружности;
- длина дуги параболы;
- длина дуги эллипса;
- длина дуги гиперболы;
- длина дуги синусоиды;
- длина дуги косинусоиды;
- длина дуги циклоиды;
- длина дуги кардиоиды;
- длина дуги астроиды;
- длина дуги эпициклоиды;
- длина дуги гипоциклоиды;
- длина дуги эвольвенты окружности;
- длина дуги цепной линии;
- длина дуги трактрисы;
- длина дуги лемнискаты Бернулли.
Литература[править]
- Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.113.
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике — М.: Наука, 1964, стр.829.