Длина дуги эпициклоиды

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
EpitrochoidOn3-generation.gif
Формула

Длина дуги эпициклоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги эпициклоиды в единицах измерения длины.

Эпициклоида — это линия, описываемая точкой окружности (производящая), когда последняя катится без скольжения по (вне) неподвижной окружности (направляющая).

Рассмотрим дуги эпициклоиды при 0 ≤ t ≤ 2π.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x1 — абсцисса первой точки дуги;

y1 — ордината первой точки дуги;

t1 — параметр (меньший) первой точки дуги;

x2 — абсцисса второй точки дуги;

y2 — ордината второй точки дуги;

t2 — параметр (больший) второй точки дуги;

R — радиус направляющей окружности;

r — радиус производящей окружности;

t — параметрическая переменная;

x = (R + r)cost − rcos[(R + r)t/r] — параметрическое уравнение абсциссы эпициклоиды;

y = (R + r)sint − rsin[(R + r)t/r] — параметрическое уравнение ординаты эпициклоиды;

Lдуг.эпицик — длина дуги эпициклоиды.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ L_\text{эпицикл}=\frac{4(R+r)r}{R}\left(\cos\frac{Rt_1}{2r}-\cos\frac{Rt_2}{2r}\right), \ 0 \le t_1 \le t_2 \le \frac{\pi r}{R} }[/math]

Вывод формулы[править]

ДЭП11.JPG

Другие формулы[править]

Ссылки[править]

  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.805.
  • Участник:Logic-samara