Длина дуги эпициклоиды

Формула

Длина дуги эпициклоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги эпициклоиды в единицах измерения длины.

Эпициклоида — это линия, описываемая точкой окружности (производящая), когда последняя катится без скольжения по (вне) неподвижной окружности (направляющая).

Рассмотрим дуги эпициклоиды при 0 ≤ t ≤ 2π.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр (больший) второй точки дуги;

R — радиус направляющей окружности;

r — радиус производящей окружности;

t — параметрическая переменная;

x = (R + r)cost − rcos[(R + r)t/r] — параметрическое уравнение абсциссы эпициклоиды;

y = (R + r)sint − rsin[(R + r)t/r] — параметрическое уравнение ординаты эпициклоиды;

L_{дуг.эпицик} — длина дуги эпициклоиды.

Формула

[math]\displaystyle{ L_\text{эпицикл}=\frac{4(R+r)r}{R}\left(\cos\frac{Rt_1}{2r}-\cos\frac{Rt_2}{2r}\right), \ 0 \le t_1 \le t_2 \le \frac{\pi r}{R} }[/math]

• Заметим, что кардиоида является эпициклоидой.

Вывод формулы

• Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой для функции, заданной параметрически.

Другие формулы

• длина дуги плоской кривой;
• длина дуги окружности;
• длина дуги параболы;
• длина дуги эллипса;
• длина дуги гиперболы;
• длина дуги синусоиды;
• длина дуги косинусоиды;
• длина дуги циклоиды;
• длина дуги кардиоиды;
• длина дуги астроиды;
• длина дуги эпициклоиды;
• длина дуги гипоциклоиды;
• длина дуги эвольвенты окружности;
• длина дуги цепной линии;
• длина дуги трактрисы;
• длина дуги лемнискаты Бернулли.

Ссылки

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.805.
• Участник:Logic-samara