Длина дуги эллипса

Эллипс

Длина дуги эллипса — это число, характеризующее протяжённость дуги эллипса в единицах измерения длины.

Обозначения

a — большая полуось;

b — малая полуось;

ε — эксцентриситет;

x²/a² + y²/b² = 1 — каноническое уравнение эллипса;

t₁ — параметр первой точки дуги;

t₂ — параметр второй точки дуги;

t — параметрическая переменная — угол между осью ординат и радиус-вектором точки эллипса;

x = asint — параметрическое уравнение абсциссы эллипса;

y = bcost — параметрическое уравнение ординаты эллипса;

E(k, t) — эллиптический интеграл II рода;

L_{дуг.элл} — длина дуги эллипса.

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_{\text{дуг.элл}}=aE\left(\varepsilon,t_2\right)-aE\left(\varepsilon,t_1\right), \ \varepsilon=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}, \ 0 \le t_1 \le t_2 \le \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow L_{\text{дуг.элл}}=aE\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a},t_2\right)-aE\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a},t_1\right), \ 0 \le t_1 \le t_2 \le \frac{\pi}{2}}

• Периметр эллипса равен P_элл = 4aE(ε,π/2).

Вывод формулы

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_\text{дуг.элл.}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(x'_t)^2+(y'_t)^2}dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[(a\sin t)'_t\right]^2+\left[(b\cos t)'_t\right]^2}dt=}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(a\cos t)^2+(-b\sin t)^2}dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{a^2\cos^2t+b^2\sin^2t}dt=}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{a^2(1-\sin^2t)+b^2\sin^2t}dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{a^2-(a^2-b^2)\sin^2t}dt=}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =a\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{a^2-b^2}{a^2}\sin^2t}dt=\left\langle \varepsilon=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\right\rangle =a\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\varepsilon^2\sin^2t}dt=}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\left.aE(\varepsilon,t)\right|_{t_1}^{t_2}=aE(\varepsilon,t_2)-aE(\varepsilon,t_1) \Rightarrow L_\text{дуг.элл.}=aE(\varepsilon,t_2)-aE(\varepsilon,t_1)}

• Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в параметрической форме (параметр t — это угол между осью ординат и радиус-вектором точки эллипса).
• Для нахождения интеграла используется эллиптический интеграл II рода.

См. также

• Площадь эллипса

Другие формулы

1. плоская кривая;
2. окружность;
3. парабола;
4. эллипс;
5. гипербола;
6. синусоида;
7. косинусоида;
8. циклоида;
9. кардиоида;
10. астроида;
11. эпициклоида;
12. гипоциклоида;
13. эвольвента;
14. цепная линия;
15. трактриса;
16. лемниската Бернулли.

Литература

• Храбров А. И. Немного об эллиптических интегралах