Длина дуги синусоиды

Синусоида

Формула

Длина дуги синусоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги синусоиды в единицах измерения длины.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x₁ — первая точка дуги;

x₂ — вторая точка дуги;

y = sinx — уравнение синусоиды;

E(k, t) — эллиптический интеграл II рода;

L_sin — длина дуги синусоиды.

L_{\sin }={\sqrt {2}}E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},x_{2}\right)-{\sqrt {2}}E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},x_{1}\right),

0\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant {\frac {\pi }{2}}

Длина полной (от 0 до π) арки синусоиды равна:

L_{{\text{арк.}}\sin }=2{\sqrt {2}}E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)

.

L_{\sin }=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\left(y'_{x}\right)^{2}}}dx=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\left[(\sin x)'_{x}\right]^{2}}}dx=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\cos ^{2}x}}dx=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2-\sin ^{2}x}}dx=

={\sqrt {2}}\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1-{\frac {1}{2}}\sin ^{2}x}}dx=\left.{\sqrt {2}}E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},x\right)\right|_{x_{1}}^{x_{2}}={\sqrt {2}}E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},x_{2}\right)-{\sqrt {2}}E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},x_{1}\right)\Rightarrow

L_{\sin }={\sqrt {2}}E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},x_{2}\right)-{\sqrt {2}}E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},x_{1}\right)

Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в прямоугольной системе координат.
Для нахождения интеграла используется эллиптический интеграл II рода.