Длина дуги синусоиды

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Синусоида
Формула

Длина дуги синусоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги синусоиды в единицах измерения длины.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x1 — первая точка дуги;

x2 — вторая точка дуги;

y = sinx — уравнение синусоиды;

E(k, t) — эллиптический интеграл II рода;

Lsin — длина дуги синусоиды.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ L_{\sin}=\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_2 \right)-\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_1\right), }[/math] [math]\displaystyle{ 0 \leqslant x_1 \leqslant x_2 \leqslant \frac{\pi}{2} }[/math]

Длина полной (от 0 до π) арки синусоиды равна:

[math]\displaystyle{ L_{\text{арк.}\sin}=2\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{2}\right) }[/math].

Вывод формулы[править]

[math]\displaystyle{ L_{\sin}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left(y'_x\right)^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[(\sin x)'_x\right]^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\cos^2x}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{2-\sin^2x}dx= }[/math]
[math]\displaystyle{ =\sqrt{2}\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2x}dx=\left.\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x\right)\right|_{x_1}^{x_2}=\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_2\right)-\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_1\right) \Rightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ L_{\sin}=\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_2\right)-\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_1\right) }[/math]

См. также[править]

Другие формулы[править]

Ссылки[править]