Длина дуги синусоиды
Длина дуги синусоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги синусоиды в единицах измерения длины.
Обозначения[править]
Введём обозначения:
x1 — первая точка дуги;
x2 — вторая точка дуги;
y = sinx — уравнение синусоиды;
E(k, t) — эллиптический интеграл II рода;
Lsin — длина дуги синусоиды.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ L_{\sin}=\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_2 \right)-\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_1\right), }[/math] [math]\displaystyle{ 0 \leqslant x_1 \leqslant x_2 \leqslant \frac{\pi}{2} }[/math]
Длина полной (от 0 до π) арки синусоиды равна:
- [math]\displaystyle{ L_{\text{арк.}\sin}=2\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{2}\right) }[/math].
Вывод формулы[править]
- [math]\displaystyle{ L_{\sin}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left(y'_x\right)^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[(\sin x)'_x\right]^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\cos^2x}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{2-\sin^2x}dx= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\sqrt{2}\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2x}dx=\left.\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x\right)\right|_{x_1}^{x_2}=\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_2\right)-\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_1\right) \Rightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ L_{\sin}=\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_2\right)-\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_1\right) }[/math]
- Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в прямоугольной системе координат.
- Для нахождения интеграла используется эллиптический интеграл II рода.
См. также[править]
Другие формулы[править]
- длина дуги плоской кривой;
- длина дуги окружности;
- длина дуги параболы;
- длина дуги эллипса;
- длина дуги гиперболы;
- длина дуги синусоиды;
- длина дуги косинусоиды;
- длина дуги циклоиды;
- длина дуги кардиоиды;
- длина дуги астроиды;
- длина дуги эпициклоиды;
- длина дуги гипоциклоиды;
- длина дуги эвольвенты окружности;
- длина дуги цепной линии;
- длина дуги трактрисы;
- длина дуги лемнискаты Бернулли.