Длина дуги синусоиды

Синусоида

Формула

Длина дуги синусоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги синусоиды в единицах измерения длины.

Обозначения

x₁ — первая точка дуги;

x₂ — вторая точка дуги;

y = sinx — уравнение синусоиды;

E(k, t) — эллиптический интеграл II рода;

L_sin — длина дуги синусоиды.

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_{\sin}=\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_2 \right)-\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_1\right),} Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 \leqslant x_1 \leqslant x_2 \leqslant \frac{\pi}{2}}

Длина полной (от 0 до π) арки синусоиды равна:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_{\text{арк.}\sin}=2\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\pi}{2}\right)} .

Вывод формулы

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_{\sin}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left(y'_x\right)^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[(\sin x)'_x\right]^2}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\cos^2x}dx=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{2-\sin^2x}dx=}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle =\sqrt{2}\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1-\frac{1}{2}\sin^2x}dx=\left.\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x\right)\right|_{x_1}^{x_2}=\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_2\right)-\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_1\right) \Rightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L_{\sin}=\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_2\right)-\sqrt{2}E\left(\frac{\sqrt{2}}{2},x_1\right)}

• Для вывода используется формула «длина дуги плоской кривой» в прямоугольной системе координат.
• Для нахождения интеграла используется эллиптический интеграл II рода.

См. также

• Площадь арки синусоиды

Другие формулы

1. плоская кривая;
2. окружность;
3. парабола;
4. эллипс;
5. гипербола;
6. синусоида;
7. косинусоида;
8. циклоида;
9. кардиоида;
10. астроида;
11. эпициклоида;
12. гипоциклоида;
13. эвольвента;
14. цепная линия;
15. трактриса;
16. лемниската Бернулли.

Литература

• Храбров А. И. Немного об эллиптических интегралах