Длина дуги астроиды

Астроида

Длина дуги астроиды — это число, характеризующее протяжённость дуги астроиды в единицах измерения длины.

Астроида — это линия, описываемая точкой малой окружности радиуса в четверть фиксированного радиуса, когда она катится без скольжения по внутреннкей стороне окружности фиксированного радиуса.

Рассмотрим дуги астроиды, исходящей из точки (0; R) до точки (R; 0).

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса (меньшая) первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр первой точки дуги;

x₂ — абсцисса (большая) второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр второй точки дуги;

R — радиус окружности и высота астроиды;

r — радиус малой окружности;

M = (x; y) — точка астроиды;

M₀ = (0; R) — вершина астроиды;

x^2/3 + y^2/3 = R^2/3 — уравнение астроиды;

t — параметрическая переменная;

x = Rcos³t — параметрическое уравнение абсциссы астроиды;

y = Rsin³t — параметрическое уравнение ординаты астроиды;

L_{дуг.астр} — длина дуги астроиды.

Формула

[math]\displaystyle{ L_\text{дуг.астр}=\frac{3}{2}R^\frac{1}{3}\left(x_2^\frac{2}{3}-x_1^\frac{2}{3}\right), \ 0 \le x_1 \le x_2 \le R \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ L_\text{дуг.астр}=\frac{3}{2}R^\frac{1}{3}\left(y_1^\frac{2}{3}-y_2^\frac{2}{3}\right), \ y_1=\left(R^\frac{2}{3}-x_1^\frac{2}{3}\right)^\frac{3}{2}, \ y_2=\left(R^\frac{2}{3}-x_2^\frac{2}{3}\right)^\frac{3}{2}, \ 0 \le y_2 \le y_1 \le R \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ L_\text{дуг.астр}=\frac{3}{2}R^\frac{1}{3}\left(\cos^2t_2-\cos^2t_1\right), \ x_1=R\cos^3t_1, \ x_2=R\cos^3t_2, \ 0 \le t_2 \le t_1 \le \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ L_\text{дуг.астр}=\frac{3}{2}R^\frac{1}{3}\left(\sin^2t_1-\sin^2t_2\right), \ y_1=R\sin^3t_1, \ y_2=R\sin^3t_2, \ 0 \le t_2 \le t_1 \le \frac{\pi}{2} }[/math]

• Заметим, что длина дуги астроиды M₀M от вершины равна L_x = 3R^1/3x^2/3/2.

Вывод формулы

1-ый способ

• Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой для функции в прямоугольных координатах.

2-ой способ

• Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой для функции, заданной параметрически, причём 0 < t₁ < t₂ < π/2.

Другие формулы

• длина дуги плоской кривой;
• длина дуги окружности;
• длина дуги параболы;
• длина дуги эллипса;
• длина дуги гиперболы;
• длина дуги синусоиды;
• длина дуги косинусоиды;
• длина дуги циклоиды;
• длина дуги кардиоиды;
• длина дуги астроиды;
• длина дуги эпициклоиды;
• длина дуги гипоциклоиды;
• длина дуги эвольвенты окружности;
• длина дуги цепной линии;
• длина дуги трактрисы;
• длина дуги лемнискаты Бернулли.

Ссылки

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.814.
• Участник:Logic-samara