Длина дуги астроиды

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Астроида

Длина дуги астроиды — это число, характеризующее протяжённость дуги астроиды в единицах измерения длины.

Астроида — это линия, описываемая точкой малой окружности радиуса в четверть фиксированного радиуса, когда она катится без скольжения по внутреннкей стороне окружности фиксированного радиуса.

Рассмотрим дуги астроиды, исходящей из точки (0; R) до точки (R; 0).

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x1 — абсцисса (меньшая) первой точки дуги;

y1 — ордината первой точки дуги;

t1 — параметр первой точки дуги;

x2 — абсцисса (большая) второй точки дуги;

y2 — ордината второй точки дуги;

t2 — параметр второй точки дуги;

R — радиус окружности и высота астроиды;

r — радиус малой окружности;

M = (x; y) — точка астроиды;

M0 = (0; R) — вершина астроиды;

x2/3 + y2/3 = R2/3 — уравнение астроиды;

t — параметрическая переменная;

x = Rcos3t — параметрическое уравнение абсциссы астроиды;

y = Rsin3t — параметрическое уравнение ординаты астроиды;

Lдуг.астр — длина дуги астроиды.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ L_\text{дуг.астр}=\frac{3}{2}R^\frac{1}{3}\left(x_2^\frac{2}{3}-x_1^\frac{2}{3}\right), \ 0 \le x_1 \le x_2 \le R \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ L_\text{дуг.астр}=\frac{3}{2}R^\frac{1}{3}\left(y_1^\frac{2}{3}-y_2^\frac{2}{3}\right), \ y_1=\left(R^\frac{2}{3}-x_1^\frac{2}{3}\right)^\frac{3}{2}, \ y_2=\left(R^\frac{2}{3}-x_2^\frac{2}{3}\right)^\frac{3}{2}, \ 0 \le y_2 \le y_1 \le R \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ L_\text{дуг.астр}=\frac{3}{2}R^\frac{1}{3}\left(\cos^2t_2-\cos^2t_1\right), \ x_1=R\cos^3t_1, \ x_2=R\cos^3t_2, \ 0 \le t_2 \le t_1 \le \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ L_\text{дуг.астр}=\frac{3}{2}R^\frac{1}{3}\left(\sin^2t_1-\sin^2t_2\right), \ y_1=R\sin^3t_1, \ y_2=R\sin^3t_2, \ 0 \le t_2 \le t_1 \le \frac{\pi}{2} }[/math]
  • Заметим, что длина дуги астроиды M0M от вершины равна Lx = 3R1/3x2/3/2.

Вывод формулы[править]

1-ый способ[править]

ДАС11.JPG

2-ой способ[править]

ДАС12.JPG

Другие формулы[править]

Ссылки[править]

  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.814.
  • Участник:Logic-samara