Длина дуги астроиды
Длина дуги астроиды — это число, характеризующее протяжённость дуги астроиды в единицах измерения длины.
Астроида — это линия, описываемая точкой малой окружности радиуса в четверть фиксированного радиуса, когда она катится без скольжения по внутреннкей стороне окружности фиксированного радиуса.
Рассмотрим дуги астроиды, исходящей из точки (0; R) до точки (R; 0).
Содержание
Обозначения[править]
Введём обозначения:
x1 — абсцисса (меньшая) первой точки дуги;
y1 — ордината первой точки дуги;
t1 — параметр первой точки дуги;
x2 — абсцисса (большая) второй точки дуги;
y2 — ордината второй точки дуги;
t2 — параметр второй точки дуги;
R — радиус окружности и высота астроиды;
r — радиус малой окружности;
M = (x; y) — точка астроиды;
M0 = (0; R) — вершина астроиды;
x2/3 + y2/3 = R2/3 — уравнение астроиды;
t — параметрическая переменная;
x = Rcos3t — параметрическое уравнение абсциссы астроиды;
y = Rsin3t — параметрическое уравнение ординаты астроиды;
Lдуг.астр — длина дуги астроиды.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ L_\text{дуг.астр}=\frac{3}{2}R^\frac{1}{3}\left(x_2^\frac{2}{3}-x_1^\frac{2}{3}\right), \ 0 \le x_1 \le x_2 \le R \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ L_\text{дуг.астр}=\frac{3}{2}R^\frac{1}{3}\left(y_1^\frac{2}{3}-y_2^\frac{2}{3}\right), \ y_1=\left(R^\frac{2}{3}-x_1^\frac{2}{3}\right)^\frac{3}{2}, \ y_2=\left(R^\frac{2}{3}-x_2^\frac{2}{3}\right)^\frac{3}{2}, \ 0 \le y_2 \le y_1 \le R \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ L_\text{дуг.астр}=\frac{3}{2}R^\frac{1}{3}\left(\cos^2t_2-\cos^2t_1\right), \ x_1=R\cos^3t_1, \ x_2=R\cos^3t_2, \ 0 \le t_2 \le t_1 \le \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ L_\text{дуг.астр}=\frac{3}{2}R^\frac{1}{3}\left(\sin^2t_1-\sin^2t_2\right), \ y_1=R\sin^3t_1, \ y_2=R\sin^3t_2, \ 0 \le t_2 \le t_1 \le \frac{\pi}{2} }[/math]
- Заметим, что длина дуги астроиды M0M от вершины равна Lx = 3R1/3x2/3/2.
Вывод формулы[править]
1-ый способ[править]
- Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой для функции в прямоугольных координатах.
2-ой способ[править]
- Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой для функции, заданной параметрически, причём 0 < t1 < t2 < π/2.
Другие формулы[править]
- длина дуги плоской кривой;
- длина дуги окружности;
- длина дуги параболы;
- длина дуги эллипса;
- длина дуги гиперболы;
- длина дуги синусоиды;
- длина дуги косинусоиды;
- длина дуги циклоиды;
- длина дуги кардиоиды;
- длина дуги астроиды;
- длина дуги эпициклоиды;
- длина дуги гипоциклоиды;
- длина дуги эвольвенты окружности;
- длина дуги цепной линии;
- длина дуги трактрисы;
- длина дуги лемнискаты Бернулли.
Ссылки[править]
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.814.
- Участник:Logic-samara