Длина дуги трактрисы

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Трактриса

Длина дуги трактрисы — это число, характеризующее протяжённость дуги трактрисы в единицах измерения длины.

Трактриса — это линия, исходящая из вершины M0 в обе стороны, описываемая точкой M, увлекаемой нерастяжимой нитью LM длиной R, при движении точки L по направляющей (оси абсцисс).

Рассмотрим дуги трактрисы, исходящей из точки (0, R).

Обозначения[править]

Введём обозначения:

x1 — абсцисса (меньшая) первой точки;

y1 — ордината первой точки;

t1 — параметр (меньший) первой точки;

x2 — абсцисса (большая) второй точки;

y2 — ордината второй точки;

t2 — параметр (больший) второй точки;

R — высота трактрисы;

L — точка оси абсцисс, являющейся направляющей;

M = (x, y) — точка трактрисы;

M0 = (0, R) — вершина трактрисы;

t — параметрическая переменная (угол наклона трактрисы);

x = R[cost + lntg(t/2)] — параметрическое уравнение абсциссы трактрисы;

y= Rsint — параметрическое уравнение ординаты трактрисы;

Lдуг.трак — длина дуги трактрисы.

Формула[править]

[math]\displaystyle{ L_{\text{дуг.трак}}=R\ln\left|\frac{\sin t_1}{\sin t_2}\right|, \ \frac{\pi}{2}\le t_1 \le t_2 \lt \pi }[/math]
  • Длина дуги трактрисы M0M от вершины равна Lt = −Rln|sint|.

Вывод формулы[править]

[math]\displaystyle{ L_\text{дуг.трак}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(x_t'\right)^2+\left(y_t'\right)^2}dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[\left(R\cos t+R\ln tg\frac{t}{2}\right)'_t\right]^2+\left[(R\sin t)'_t\right]^2}dt= }[/math]
[math]\displaystyle{ =\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(-R\sin t+\frac{R}{\sin t}\right)^2+(R\cos t)^2}dt=R\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\sin^2t-2+\frac{1}{\sin^2t}+\cos^2t}dt= }[/math]
[math]\displaystyle{ =R\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\frac{1}{\sin^2t}-1}dt=R\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\frac{1-\sin^2t}{\sin^2t}}dt=R\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\frac{\cos^2t}{\sin^2t}}dt=R\int\limits_{t_1}^{t_2}\frac{-\cos t}{\sin t}dt= }[/math]
[math]\displaystyle{ =-R\int\limits_{t_1}^{t_2}\frac{1}{\sin t}d\sin t=\left.-R\ln|\sin t|\right|_{t_1}^{t_2}=-R(\ln|\sin t_2|-\ln|\sin t_1|)=R\ln\left|\frac{\sin t_1}{\sin t_2}\right| \Rightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Rightarrow L_\text{дуг.трак}=R\ln\left|\frac{\sin t_1}{\sin t_2}\right| }[/math]

См. также[править]

Другие формулы[править]

Литература[править]

  • Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.114.
  • Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике — М.: «Наука», 1964, стр.822.